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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 5

a) Estime o número de grãos de areia na praia de Copacabana (ou de outra que você conheça melhor). b) Estime o número de átomos num grão de areia. Compare as duas estimativas.

Passo 1

a) Como a praia de Copacabana tem aproximadamente 60   m de largura e 4   k m = 4.000   m de comprimento, vamos estimar que sua profundidade seja de 5   m . Assim, calculamos o volume da praia:

V p r a i a ≅ 60 ∙ 4.000 ∙ 5 ≅ 1,2   . 10 6   ∙ m 3

Agora bora estimar o volume de um grão de areia. Imaginando ele como uma esfera muito pequenininha, de raio de aproximadamente 1 décimo de milímetro, o que no S I dá:

1.000   m m = 1   m

1   m m = 10 - 3   m

1 10   m m = 10 - 4   m

Podemos calcular o volume conforme a fórmula do volume de uma esfera:

V g r ã o ≅ 4 3 π r 3 ≅ 4 3 π ∙   10 - 4 3 ≅ 4,2   ∙ 10 - 12   m 3

Para estimar a ordem de grandeza dos grãos que cabem na praia comparamos os 2 resultados. Pra isso, vamos considerar que cabem N grãos no volume de praia, sem deixar volumes vazios. Assim:

N ∙ V g r ã o = V p r a i a

N = V p r a i a V g r ã o = 1,2 ∙   10 6 4,2 ∙   10 - 12 = 0,29   ∙   10 18  

N º g r ã o s = 2,9   ∙   10 17   g r ã o s

Passo 2

b) Sabendo que a areia é praticamente feita de quartzo ( S i O 2 ) além da sua massa molar de   60 ∙ 10 - 3 k g / m o l vamos estimar quantos átomos tem num grão de areia. Vamos estimar também uma massa de 1,2 miligramas por grão de areia. Seja

1,2   m g = 1,2   ∙     10 - 6   k g  

Por regra de 3 , temos:

1,2 ∙ 10 - 6 ∙ 1 = 60 ∙   10 - 3 ∙ x

x = 1,2 ∙ 10 - 6 60 ∙   10 - 3 = 0,02 ∙ 10 - 3 = 2 ∙ 10 - 5   m o l

Show! Descobrimos que em 1 grão de areia tem 2 ∙ 10 - 5   m o l de S i O 2 . Mas como, pela definição:

1   m o l =   6 ∙ 10 23   m o l é c u l a s

Vamos ter, em um grão:

1   g r ã o =   2 ∙ 10 - 5 ∙ 6 ∙ 10 23 = 12 ∙ 10 18  

1   g r ã o = 1,2 ∙ 10 19 m o l é c u l a s  

E pra fechar, como cada molécula tem 2 átomos de O e 1 átomos de S i , temos um total de 3 átomos por molécula. Fechando então:

1   g r ã o = 1,2 ∙ 10 19 ∙ 3  

1   g r ã o = 3,6 ∙ 10 19   á t o m o s  

Passo 3

Comparando os resultados

O resultado combinado das letras é:

1   p r a i a = 2,9   ∙   10 17   g r ã o s   d e   a r e i a  

1   g r ã o   d e   a r e i a = 3,6 ∙ 10 19   á t o m o s  

Concluímos então que existem cerca de 100 vezes mais átomos num grão do que grãos numa praia. :O

Resposta

  1. g r ã o s   d a   p r a i a = d a   o r d e m   d e   10 17
  2. á t o m o s   n u m   g r ã o = d a   o r d e m   d e   10 19
  • Concluímos então que existem cerca de 100 vezes mais átomos num grão do que grãos numa praia.
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