Enunciado

Na Fig. 22-63, um campo elétrico uniforme vertical Ê de módulo 2,00 x 103 N/C foi estabelecido entre duas placas horizontais carregando positivamente a placa de baixo e negativamente a placa de cima. As placas têm um comprimento L = 10,0 cm e estão separadas por uma distância d = 2,00 cm. Um elétron é lançado no espaço entre as placas a partir da extremidade esquerda da placa de baixo. A velocidade inicial v0 faz um ângulo θ = 45,00 com a placa de baixo e tem um módulo de 6,00 x 106 m/s. (a) O elétron irá se chocar com uma das placas? (b) Se a resposta for afirmativa, com qual das placas o elétron irá se chocar e a que distância horizontal da extremidade esquerda das placas?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? 😎

Temos a seguinte situação: um elétron é disparado entre duas cargas horizontais, esse elétron tem velocidade v = 6,00 · 10 6   m / s , com um ângulo θ = 45,0 ° com a placa inferior. Sabemos que as placas têm um comprimento L = 10,0 c m e estão separadas por distância d = 2,00   c m .

Primeiramente, podemos descobrir que a aceleração vai estar apontando para baixo, pois o campo aponta para cima e a carga do elétron é negativa. Então, qual é a maior altura que o elétron pode atingir? se for maior que a distância entre as placas ele pode ser chocar com a placa de cima.

Passo 2

O elétron é negativamente carregado. O campo elétrico age para cima. Portanto, a força e a aceleração do elétron apontam para baixo.

A magnitude da aceleração é dada por

[ a = F m e = 1.6 × 10 - 19   C × 2 × 10 3   N / C 9.109 × 10 - 31   k g = 3.51 × 10 14   m / s 2 ]

Vamos escolher a posição inicial do elétron como a origem.

A velocidade inicial do elétron é ( v 0 = 6.0 × 10 6   m / s ) e faz um ângulo ( θ = 45 ∘ ) com a placa inferior.

Assim, a componente vertical de sua velocidade é dada pela seguinte equação cinemática:

[ v y = v 0 sin ⁡ θ - a t ]

Na altura máxima, ( v y = 0 ) . Portanto, temos ( v y = v 0 sin ⁡ θ - a t ) .

A altura máxima é dada por

y max = v 0 sin ⁡ θ t - 1 2 a t 2

com ( t ) sendo o tempo em que ( v y = v 0 sin ⁡ θ ) .

y max = v 0 2 sin 2 ⁡ θ 2 a

Neste passo, substituímos ( t ) por ( v 0 sin ⁡ θ a ) .

y max = 6.0 × 10 6   m / s 2 sin 2 ⁡ 45 ∘ 2 × 3.51 × 10 14   m / s 2 = 2.56   c m

Isso é maior do que a separação entre as placas ( d = 2.00   c m ) .

Portanto, o elétron atinge a placa superior.

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

(b) Precisamos encontrar a coordenada ( x ) correspondente. Ela é dada por

x = v 0 cos ⁡ θ t

Agora temos que encontrar o valor de ( t ) quando ( y   =   2.00       c m   =   0.02       m ) .

Reescrevendo a equação cinemática

y = v 0 sin ⁡ θ t - 1 2 a t 2

como

1 2 a t 2 - v 0 sin ⁡ θ t + y = 0

Esta é uma equação quadrática em ( t ) . A solução da equação é dada por

t = - v 0 sin ⁡ θ ± v 0 2 sin 2 ⁡ θ - 2 a y a

Substituindo os valores conhecidos:

t = 6 × 10 6   m / s sin ⁡ 45 ∘ ± 6 × 10 6   m / s 2 sin 2 ⁡ 45 ∘ - 2 × 3.51 × 10 14   m / s 2 × 0.02   m 3.51 × 10 14   m / s 2

t = 6 2 ± 18 - 14.04 3.51 × 10 - 8 = 4.24 ± 1.99 × 10 - 8

Considerando o tempo mais cedo:

t = 4.24 - 1.99 × 10 - 8 = 6.41 × 10 - 9   s

A coordenada ( x ) é dada por

x = v 0 cos ⁡ θ t = 6 × 10 6   m / s cos ⁡ 45 ∘ × 6.41 × 10 - 9 = 0.0272   m = 2.72   c m

Considerando o tempo mais cedo:

t = 4.24 - 1.99 × 10 - 8 = 6.41 × 10 - 9   s

A coordenada ( x ) é dada por

x = v 0 cos ⁡ θ t = 6 × 10 6   m / s cos ⁡ 45 ∘ × 6.41 × 10 - 9

= 0.0272   m = 2.72   c m

E aí? Entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

(a) Sim, o elétron se choca.

(b) x = 2,72 c m

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