Na Fig. 23-45, uma pequena esfera não condutora de massa m   =   1,0   m g e carga q   =   2,0 ×   10 - 8     C   (distribuída uniformemente em todo o volume) está pendurada em um fio não condutor que faz um ângulo θ   =   30 º com uma placa vertical, não condutora, uniformemente

carregada (vista de perfil). Considerando a força gravitacional a que a esfera está submetida e supondo que a placa possui uma grande extensão, calcule a densidade superficial de cargas σ da placa.

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui queremos a densidade superficial de carga dado que a esfera é submetida a uma força elétrica que a deixa em equilíbrio.

Primeiro, bora trabalhar com o diagrama de corpo livre da partícula de massa m :

Onde T →   é a tensão no fio, q E → é a força eletrostática que a placa exerce sobre a esfera, m g → é a força peso da esfera, T x → = T →   s e n ⁡ ( θ ) e T y → = T → cos ⁡ ( θ ) são as componentes da tensão no fio.

Passo 2

Como ela está em equilíbrio na horizontal:

q E = T s e n ( θ )

Na vertical também temos equilíbrio. Então:

m g = T c o s ( θ )

Dividindo a primeira equação pela segunda, a gente tem que:

q E m g = T s e n θ T c o s θ

Podemos cortae T e substituir s e n θ c o s θ pela tangente:

q E m g = t a n ⁡ ( θ )

Passo 3

Como E = σ 2 ϵ 0 , que é o campo elétrico de uma placa infinita (pode ser também uma lâmina infinita, mas o problema chama de placa), então:

q σ 2 ϵ 0 m g = t a n ⁡ ( θ )

q σ 2 ϵ 0 m g = t a n ⁡ ( θ )

Onde σ é a densidade de cargas da placa.

Isolando σ , temos:

σ = 2 ϵ 0 m g t a n θ q

Substituindo os valores que temos:

σ = 2 8,85 ∙ 10 - 12 C 2 N . m 2 1 ∙ 10 - 6   k g 9,8 m s 2 tan ⁡ 30 ° 2 ∙ 10 - 8   C

Fazendo essas contas:

σ = 5 ∙ 10 - 9 C m 2 = 5 n C / m 2

Resposta

σ = 5 n C / m ²

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