Enunciado
Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas Adicionais - Ex. 72
A Fig. 2-39 mostra parte de uma rua na qual se pretende controlar o tráfego para permitir que um pelotão de veículos atravesse vários cruzamentos sem parar. Suponha que os primeiros carros do pelotão tenham acabado de chegar ao cruzamento, onde o sinal abriu quando os carros estavam a uma distância do cruzamento. Os carros continuam a se mover a uma certa velocidade (a velocidade máxima permitida) até chegarem ao cruzamento. As distâncias entre os cruzamentos são e . (a) Quanto tempo depois que o sinal do cruzamento abriu o sinal do cruzamento deve abrir para que o sinal do cruzamento abra quando os primeiros carros do pelotão estão a uma distância do cruzamento ?
Suponha que o pelotão tenha encontrado o sinal fechado no cruzamento. Quando o sinal do cruzamento abre, os carros da frente precisam de um certo tempo para arrancar e de um tempo adicional para atingir a velocidade de cruzeiro com uma certa aceleração . (b) Quanto tempo depois que o sinal do cruzamento abriu o sinal do cruzamento deve abrir para que o sinal do cruzamento abra quando os primeiros carros do pelotão estão a uma distância do cruzamento ?
Passo 1
Essa questão assusta um pouco só com o texto, né? Mas vamos começar a dividí-la em pequenos pedaços para a gente entender, beleza? Inicialmente, o enunciado diz que o pelotão quando está a uma distância do cruzamento o sinal está aberto, então eles passam pelo cruzamento em direção ao cruzamento com uma VELOCIDADE CONSTANTE (). Logo, na primeira etapa da questão vamos trabalhar com um MRU.
Lembrando que a função característica deste movimento é: . Nesta primeira etapa precisamos determinar o tempo, após o momento que os carros passam o cruzamento , que o sinal do cruzamento precisa abrir para que os carros não parem ().
No segundo momento, a questão pede para supormos que o sinal do cruzamento está fechado, então os carros precisam de um tempo com uma aceleração para alcançar uma velocidade constante máxima (). Com isso, ele pede o tempo, após a abertura do sinal do cruzamento , que o sinal do cruzamento deve abrir para que a uma distância deste cruzamento os carros já vejam o sinal verde (). Portanto, essa parte da questão trata-se de um MRUV seguido de um MRU.
Passo 2
Vamos iniciar pelo movimento exclusivamente uniforme. Usando a função de movimento explicitada no passo anterior:
Considerando que o cruzamento seja nosso ponto de partida e, portanto, ). Usando os dados que o problema forneceu: A distância percorrida do cruzamento até o cruzamento sendo e a velocidade constante desse trecho do percurso sendo a velocidade máxima . Assim, reescrevendo a equação:
Isolando a incógnita que queremos, que é o instante :
Então, para que os carros não parem, o sinal deve abrir antes do instante , sendo este o tempo necessário para que os carros atravessem do cruzamento até o cruzamento .
Passo 3
Este segundo momento está dividido em MRUV seguido de um MRU. Para não embolar, vamos começar a analisar o MRUV:
Vamos iniciar analisando o movimento pela função da velocidade , pois nós temos a velocidade máxima alcançada pelo carro (), a aceleração e a velocidade inicial , pois no enunciado diz que eles partem do repouso do cruzamento . Então, substituindo os valores na equação para encontrar o tempo necessário para o carro alcançar a velocidade máxima, temos:
Isolando o :
Com esse tempo em mãos, podemos calcular a distância percorrida em MRUV pela função do movimento , considerando a origem do nosso refencial como sendo o ponto de partida, logo, .
Usando os dados supracitados, reescrevemos a função no tempo para descobrir a distância percorrida :
Substituindo o valor de encontrado acima:
Portanto, sabemos que o carro percorre com aceleração constante .
Passo 4
Agora, vamos analisar ainda a segunta etapa, porém a parte do MRU. Sabendo que a distância entre o cruzamento e é , lembrando que o sinal do cruzamento deve abrir quando o carro ainda estiver a uma distância do cruzamento e que o carro percorreu a distância em MRUV, então a distância percorrida em MRU é:
Sabendo que a função do deslocamento deste movimento é: e que a velocidade é igual a , podemos encontrar o tempo que o carro leva percorrendo a distância () substituindo os valores na equação, então:
Substituindo o valor de e isolando :
Substituindo o valor de calculado no passo anterior:
Portanto, o instante que o sinal do cruzamento deve abrir após a abertura do sinal do cruzamento é .