Na Fig. 35-52, um transmissor de micro-ondas situado a uma altura a acima do nível da água de um lago transmite micro-ondas de comprimento de onda λ em direção a um receptor na margem oposta, situado a uma altura x acima do nível da água. As micro-ondas que se propagam diretamente através do ar. Supondo que a largura D do lago é muito maior que a e x que λ ≥ a , para que valores de x o sinal que chega ao receptor tem a maior intensidade possível? (sugestão: verifique se a reflexão resulta em uma mudança de fase.)

Passo 1

Nós podemos simplificar o problema para a seguinte figura:

A onda que irá chegar ao receptor percorre uma distância L 1 e a onda refletida percorre uma distância L 2 . O índice de refração da água é maior que o do ar, a onda que é refletida sofre uma variação na sua fase de meio comprimento de onda.

Então para que tenhamos uma interferência construtiva na onde o receptor tá, a diferença de percurso L 2 - L 1 deve ser um múltiplo ímpar de meio comprimento de onda.

Olhando na figura temos um triângulo retângulo mais à esquerda, aplicando a t g θ   t e r e m o s   t g θ = a D a     e n t ã o   D a = a t g θ , e o triângulo mais à direita teremos D b = x t g θ .

Passo 2

Como D a + D b = D

x t g θ   + a t g θ = D   l o g o ,   t g θ = a + x D

t g θ = s e n θ cos ⁡ θ   e   t g 2 θ = s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ

s e n 2 θ = t g 2 θ . cos 2 ⁡ θ

s e n 2 θ = t g 2 θ . 1 - s e n 2 θ = t g 2 θ 1 + t g 2 ( θ )

s e n θ = t g θ 1 + t g 2 θ = a + x D 2 + a + x 2

Manipulando a expressão assim nós teremos:

L 2 a = a s e n θ = a D 2 + a + x 2 a + x

L 2 b = x s e n θ = x D 2 + a + x 2 a + x

Logo L 2 = L 2 a + L 2 b = a D 2 + a + x 2 a + x + x D 2 + a + x 2 a + x = a + x a + x D 2 + a + x 2 = D 2 + a + x 2

Passo 3

Geralmente D é muito maior que x e d logo podemos expandir em Taylor:

L 2 = D + a + x 2 2 D   p a r a   D 2 ≫ a 2 + x 2 indo pela esquerda.

L 1 = D + a - x 2   D   p a r a   D 2 ≫ a 2 - x 2 indo pela direita.]

Logo a diferença de percurso L 2 - L 1 = D + a + x 2 2 D - D + a - x 2   D   = 2 a x D para que haja interferência construtiva temos que L 2 - L 1 = 2 a x D = m + 1 2 λ

Assim os valores em que x é construtivo será:

x = D 2 a m + 1 2 λ

Resposta

x = D 2 a m + 1 2 λ

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