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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 20.Exercícios e Problemas - Ex. 6

A Figura 20.12 mostra um capacitor cilíndrico preenchido por um material dielétrico de resistividade elétrica ρ e constante dielétrica κ . Uma bateria aplica uma voltagem V ao capacitor.

a) Calcule a corrente I e a resistência R entre as placas.

b) Mostre que a constante de tempo R C do capacitor tem o mesmo valor ρ κ ϵ 0 obtido para o capacitor de placas paralelas no 20.5P.

Passo 1

Vamos começar calculando a resistência entre as placas. Para isso, vamos compor o cilindro por várias cascas cilíndricas infinitesimais de raio r e espessura d r . A resistência infinitesimal dessa casquinha cilíndrica será

d R = ρ A c a s c a d r

Note que o d r faz o papel do comprimento. A área da casca cilíndrica é simplesmente a área lateral do cilindro de raio r e altura h :

A c a s c a = 2 π r h

Portanto,

d R = ρ 2 π h d r r

Para achar a resistência, basta integrar de r = a até r = b :

R = ρ 2 π h ∫ a b d r r → R = ρ 2 π h ln ⁡ b a

Para achar a corrente, basta lembrar que

V = R I

Assim,

I = V R → I = 2 π h V ρ ln ⁡ b a

Passo 2

No capítulo 17 vimos que a capacitância do capacitor de placas paralelas no vácuo era

C v a c u o = 2 π ϵ 0 h ln ⁡ b a

No meio com permissividade elétrica ϵ , a capacitância é

C = 2 π ϵ h ln ⁡ b a

Lembrando que ϵ = κ ϵ 0 , temos que

C = 2 π κ ϵ 0 h ln ⁡ b a

Passo 3

Multiplicando a resistência pela capacitância:

R C = ρ 2 π h ln ⁡ b a ⋅ 2 π κ ϵ 0 h ln ⁡ b a

Simplificando o que der para simplificar, achamos

R C = ρ κ ϵ 0

Resposta

R = ρ 2 π h ln ⁡ b a

I = 2 π h V ρ ln ⁡ b a

R C = ρ κ ϵ 0

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