A figura abaixo mostra um quadrupolo elétrico formado por dois dipolos de mesmo módulo e sentidos opostos. Mostre que o valor de E em um ponto P do eixo do quadrupolo situado a uma distância z do centro (supondo) é dado por

em que Q () é chamado de momento quadrupolar da distribuição de cargas.

Vamos relembrar que o campo produzido por um dipolo é igual a:

Onde é a distância entre o ponto onde queremos calcular o campo elétrico e o centro do dipolo causador do campo.

Assim, o campo produzido pelo dipolo da direita é

Veja que a distância foi substituída pela equação:

E o campo produzido pelo dipolo da esquerda é:

Lembrando que colocamos como negativo, pois o momento dipolo aponta para esquerda e nós dissemos que nossa convenção é que todo momento dipolo que aponta para a esquerda é negativo!

Veja que nesse caso a distância entre o centro do dipolo e o local onde queremos calcular o campo elétrico é maior e foi substituída pela equação:

Logo o campo elétrico gerado pelos dois dipolos elétricos é igual a soma dos campos elétricos causados por cada dipolo elétrico:

Colocando em evidência alguns termos:

Como podemos usar as expressões binominais de aproximação, e elas serão muito necessárias pra chegarmos no formato que o enunciado pede.

E

Sei que isso pode assustar um pouco galera, mas fiquem tranquilos geralmente essas substituições são dadas não precisa decorar isso não, tá?

Temos essa equação do campo:

E agora vamos substituir aquelas aproximações:

Rearrumando essa galerinha pra deixar uma carinha bonitinha temos:

E vamos rearrumar mais um pouco, não desiste não!

Agora substituindo o nosso momento quadrupolar na expressão...

Encontramos o campo total segundo o enunciado!