21.65 No E x e m p l o   21.15 , deduzimos o resultado aproximado E = p 2 π ϵ 0 y 3 para o campo elétrico ao longo do eixo de um dipolo elétrico. ( a ) Deduza novamente essa relação, colocando as frações da expressão de E no denominador comum, conforme descrito no E x e m p l o   21.15 . ( b ) Por que o resultado aproximado também fornece uma aproximação correta para E y , quando y   < 0 ?

Passo 1

( a )

Desenvolvendo parte de um E y com:

1 y - d 2 2 - 1 y + d 2 2

= y - d 2 2 - y - d 2 2 y 2 - d 2 4 2    

= 2 y d y 2 - d 2 4 2

Agora completando a expressão para um E y , com isso que desenvolvemos:

E y = q 4 π ε 0 ⋅ 2 y d y 2 - d 2 4 2

E y = q d 2 π ε 0 ⋅ y y 2 - d 2 4 2

Se y 2 ≫ d 2 4 :

E y = q d 2 π ε 0 ⋅ y y 2 2

E y = q d 2 π ε 0 ⋅ y y 4

E y = q d 2 π ε 0 ⋅ 1 y 3

⇒ E y = q d 2 π ε 0 y 3   ≅ p 2 π ε 0 y 3 = E  

Resposta

( a )

E y = q d 2 π ε 0 y 3   ≅ p 2 π ε 0 y 3 = E

( b )

Para os pontos em – y , E - é na direção de + y E +   é na direção – y . Assim, o campo está mais próximo de – q , então o campo é para cima. Dessa forma E y tem a mesma magnitude e direção nos pontos onde y   > >   d e onde y   < <   -   d .

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