O fio da FIGURA PD29.83 tem uma densidade de carga linear λ . Qual é o potencial elétrico criado por ele no centro do semicírculo?

Passo 1

Faaaaala galeera

Uma forma clássica de resolver problemas desse tipo é considerar um ponto, e depois integrar a região.

V i = Δ q 4 π ε 0 r

Podemos deixar a carga em termos da densidade de carga

V i = λ Δ x 4 π ε 0 x i

Sabe o ponto preto na Figura, ele será a origem das coordenadas. Vamos fazer o exercício apenas para o lado positivo, pois como a figura é simétrica é só multiplicarmos por 2

A linha começa em R e termina em 3R

∫ V i = ∫ R 3 R λ Δ x 4 π ε 0 x i

V l i n h a = λ 4 π ε 0 ∫ R 3 R d x x

V l i n h a = λ 4 π ε 0 l n x R 3 R

Podemos simplificar o R

V l i n h a = λ 4 π ε 0 l n 3

Passo 2

Vamos fazer o mesmo processo, só que dessa vez, para a semicircunferência

V i = Δ q 4 π ε 0 R

Novamente deixaremos em termos da densidade de carga

V i = λ Δ x 4 π ε 0 R

Substituindo um arco infinitesimal

V i = λ R Δ θ 4 π ε 0 R

V i = λ 4 π ε 0 Δ θ

Vamos integrar a região da semicircunferência

∫ V i = ∫ 0 π λ 4 π ε 0 Δ θ

V s e m i = λ 4 π ε 0 ∫ 0 π d θ

V s e m i = λ π 4 π ε 0

V s e m i = λ 4 ε 0

Passo 3

Agora vamos calcular o potencial total

O potencial das duas linhas mais o potencial da semicircunferência

V = 2 λ 4 π ε 0 l n 3 + λ 4 ε 0

Colocando o termo comum em evidência

V = λ 4 ε 0 1 + 2 l n 3 π

O gabarito no livro não faz sentido.

Perceba que essa questão é a junção da questão 69 com a 71, ou seja, se você somar esses dois gabaritos (multiplicando a linha por 2), vai resultar na nossa resposta. Essa soma obedece ao princípio da superposição.

Resposta

V = λ 4 ε 0 1 + 2 l n 3 π

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