Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 41.Problemas - Ex. 41
A função de onda para o átomo de hidrogênio no estado é dada por
a) Mostre que essa função de onda é normalizada. b) no modelo de Bohr, a distância entre o elétron e o núcleo no estado 2s é exatamente igual a . Calcule a probabilidade de que um elétron no estado seja encontrado a uma distância em relação ao núcleo menor que .
Passo 1
a) Para mostrarmos que a função de onda é normalizada, fazemos o produto interno entre ela e seu complexo conjugado, e integramos no espaço todo. Como a função de onda dada não envolve parte complexa, seu complexo conjugado é igual a ela mesma, assim:
Em coordenadas esféricas, pode ser escrito como:
E o limite inferior da integral passa a ser zero:
Substituindo a função de onda:
Colocando as constantes pra fora:
Passo 2
Usando a seguinte solução geral para integrais:
Onde no nosso caso.
A solução da integral fica:
Como o resultado é isso significa que a nossa função de onda está normalizada.
Passo 3
b) O orbital é esférico, a probabilidade para é dado por:
Substituindo de novo a função de onda:
Chegamos na mesma integral que antes, mas agora com o limite inferior diferente de infinito
Dividindo em três integrais para cada termo, e usando integração por partes para cada caso, chegamos em: