Um gás é submetido a uma expansão isotérmica reversível num recipiente cilídrico munido de um pistão de área e massa . O pistão desloca-se na direção com velocidade constante . Tem-se e , onde é a velocidade quadrática média das moléculas, cuja massa é . Suponha as colisões das moléculas com o pistão perfeitamente elásticas num referencial que se move com o pistão. (a) Mostre que, no referencial do laboratório (onde o cilindro está em repouso), as colisões com o pistão não são perfeitamente elásticas, calculando a perda de energia cinética de uma molécula que colide com o pistão com componente da velocidade (no resultado, despreze em confronto com ). (b) Some sobre todas as moléculas e mostre que a perda total de energia cinética é igual ao trabalho realizado na expansão do gás.

Beleza, agora é só calcular a diferença de energia cinética entre o antes e depois no referencial do laboratório;

Vamos colocar em evidência:

E conforme a sugestão do enunciado, vamos ignorar os termos em que aparece elevado ao quadrado:

Pronto! Mostramos que a colisão não é perfeitamente elástica, porque a molécula perde alguma energia cinética.

Se tivermos moléculas, a perda total de energia cinética será:

(b) Ok, agora o próximo passo é calcular o trabalho realizado pelo gás, e mostrar que é igual à variação de energia cinética que acabamos de calcular.

Vamos começar pela definição de trabalho:

Onde é a força realizada e é o deslocamento do pistão. Agora vamos reescrever a força a partir da variação de momento:

Usando a mesma imagem de antes, dá pra ver que a variação de momento de cada molécula é:

E temos que colocar um para considerar a contribuição de todas as moléculas:

Agora vamos substituir na expressão que encontramos para o trabalho:

E podemos reescrever com , que é simplesmente a velocidade do pistão no referencial do laboratório:

E finalmente, vamos usar a mesma aproximação de antes:

Então:

E chegamos no resultado esperado: o trabalho é igual à variação da energia cinética!