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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 22.1 - Ex. 21

Uma linha de cargas com densidade linear uniforme λ está ao longo do eixo x desde x = x 1 até x = x 2 , onde x 1 < x 2 . Mostre que a componente x do campo elétrico em um ponto no eixo y é dado por E x = k λ y cos ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ 1 , onde θ 1 = tan - 1 ⁡ ( x 1 / y ) , θ 2 = tan - 1 ⁡ ( x 2 / y ) e y ≠ 0 .

Passo 1

A figura abaixo ilustra o que o enunciado diz.

Notemos que

d E = k   d Q D 2

Assim, a componente x será:

d E x = d E sen ⁡ θ = k sen ⁡ θ D 2 d Q

Como

D = y sec ⁡ θ           e             x = y tg ⁡ θ

segue que

d Q = λ   d x = λ y sec 2 ⁡ θ   d θ

Passo 2

A expressão do campo elétrico poderá ser escrita como

d E x = k sen ⁡ θ y 2 sec 2 ⁡ θ λ y sec 2 ⁡ θ   d θ = k λ y sen ⁡ θ   d θ

O campo elétrico total é obtido integrando-se de θ 1 = tan - 1 ⁡ x 1 / y até θ 2 = tan - 1 ⁡ x 2 / y . Sendo assim,

E x = k λ y ∫ θ 1 θ 2 sen ⁡ θ   d θ = k λ y cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2

que é o que queríamos provar (note que acima calculamos o módulo; a expressão dada no enunciado leva em conta que E x < 0 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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