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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 22.1 - Ex. 26

Uma fina casca hemisférica de raio R tem uma densidade superficial uniforme de carga σ . Determine o campo elétrico no centro da base da casca hemisférica.

Passo 1

A figura a seguir ilustra o enunciado.

Vamos começar calculando o campo elétrico devido ao anel destacado na figura. Suponha que esse anel possua carga d Q . Note que, pela simetria, o campo irá apontar como indica a flechinha da figura. Assim,

d E = k   d Q R 2 cos ⁡ θ = k x R 3 d Q

Precisamos calcular d Q . Note que o anel possui largura R   d θ e comprimento 2 π r , sendo r = R sen ⁡ θ . Sendo assim, sua área será

d A = R   d θ 2 π r = 2 π R 2 sen ⁡ θ   d θ

Dessa forma, a carga no anel será:

d Q = σ d A = 2 π R 2 σ sen ⁡ θ   d θ

Ou seja, o campo elétrico será:

d E = k x R 3 2 π R 2   σ sen ⁡ θ   d θ = 2 π σ k x R sen ⁡ θ d θ

Como x = R cos ⁡ θ , segue que

d E = 2 π σ k cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = π σ k sen ⁡ 2 θ   d θ

pois temos 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = sen ⁡ 2 θ . Usando k = 1 / 4 π ε 0 , segue

d E = σ 4 ε 0 sen ⁡ 2 θ d θ

Passo 2

Obtemos o elemento de campo de cada anel! Vamos agora obter o campo resultante, fazendo o ângulo variar de 0 até π / 2 (pois dessa maneira a gente consegue percorrer todo o hemisfério). Assim,

E = σ 4 ε 0 ∫ 0 π / 2 sen ⁡ 2 θ d θ = σ 4 ε 0 - 1 2 cos ⁡ 2 θ 0 π / 2 E = σ 4 ε 0 - 1 2 - 1 - 1 = σ 4 ε 0

Resposta

O campo elétrico vale σ / 4 ε 0 .

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