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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 22.1 - Ex. 22

Um anel de raio a tem uma distribuição de cargas que varia como λ θ = λ 0 sen ⁡ θ , como mostra a figura 22-39. (a) Quais são a direção e o sentido do campo elétrico no centro do anel? (b) Qual é a magnitude do campo no centro do anel?

Passo 1

  1. Notemos que λ θ = λ 0 sen ⁡ θ . Como sen ⁡ θ > 0 para 0 < θ < 180 ° , segue que a parte superior do anel está positivamente carregado, enquanto que a parte inferior está negativamente carregada. Inicialmente, vamos analisar a parte superior do anel. Como sen ⁡ 180 ° - θ = sen ⁡ θ , segue que o campo elétrico devido a parte superior deve estar localizado verticalmente para baixo. Veja:

    2. Argumento semelhante mostra que o campo elétrico devido a parte de baixo também estará orientado verticalmente para baixo. Dessa forma, temos que E → = - E 0 j ^ , com E 0 > 0 .

    Passo 2

  2. Do que foi dito anteriormente, podemos simplesmente tomar o campo elétrico no eixo y de cada quarto da circunferência e depois simplesmente multiplicar por 4 . Veja:

Temos que

d E = k d Q a 2

Como

d Q = λ   d s = λ 0 a sen ⁡ θ   d θ

Segue que:

d E = k λ 0 a sen ⁡ θ   d θ

Agora,

d E y = d E sen ⁡ θ = k λ 0 a sen 2 ⁡ θ   d θ

Integrando de 0 até π / 2 , temos

E y 1 = k λ 0 a ∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ θ d θ

Como

sen 2 ⁡ θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ

segue que

E y 1 = k λ 0 a ∫ 0 π 2 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ   d θ = k λ 0 2 a θ - 1 2 sen ⁡ 2 θ 0 π / 2 E y 1 = k λ 0 π 4 a

Passo 2

Assim, o campo elétrico total será:

E = 4 × E y 1 E = k λ 0 π a

Em termos vetoriais,

E → = - k λ 0 π a j ^

Resposta

  1. Vertical para baixo
  2. E → = - k λ 0 π a j ^
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