No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, o raio a 0 da órbita 1ª órbita circular do elétron é dado pala condição de quantização L = ℏ , onde ℏ = 1,055 × 10 - 34 J . s e L é a magnitude do momento angular do elétron em relação ao núcleo (próton).

Usando essa condição, mostre que a 0 = 4 π ϵ 0 ℏ 2 m e 2 , onde m e e são as magnitudes da massa e carga do elétron, respectivamente. Calcule o valor de a 0 .

Passo 1

Se liga! Vamos começar considerando que o momento angular é definido por

L = I ω

onde I é o momento de inércia e

I = m r 2     .

Podemos lembrar também que

ω = v r     .

Como na condição de quantização

L = ℏ ⟹ ℏ = m r 2   v r = m r v   ⇒ v = ℏ m r     .

Passo 2

Sabendo que a força de interação é elétrica, temos

F E = k e 2 r 2

Pela segunda lei de Newton, temos

m a = F e

Substituindo a expressão de F e e colocando v em função de temos

m a = e 2 m 2 v 2 4 π ϵ 0 ℏ 2 ⇒ a = e 2 m v 2 4 π ϵ 0 ℏ 2

Lembrando que

a = v 2 r

Temos

v 2 r = e 2 m v 2 4 π ϵ 0 ℏ 2 ⇒ r = 4 π ϵ 0 ℏ 2 e 2 m

Enfim chegamos à expressão para o raio a 0 ! Opa nós o chamamos de r !

Agora só precisamos substituir os valores

a 0 = 4 π ×   8,85 × 1,055 × 10 - 34 2 9,1 × 10 - 31 × 1,6 × 10 - 19 2 ≈ 5,32 × 10 - 11   m

Resposta

a 0 ≈ 5,32 × 10 - 11   m

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