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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 3- Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 1bcd

No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, o raio a 0 da órbita 1ª órbita circular do elétron é dado pala condição de quantização L = ℏ , onde ℏ = 1,055 × 10 - 34 J . s e L é a magnitude do momento angular do elétron em relação ao núcleo (próton).

  1. Calcule a intensidade de corrente i associada ao movimento do elétron na sua órbita.
  2. Calcule a magnitude do campo magnético produzido por essa corrente na posição do núcleo.
  3. Calcule a magnitude μ B do momento de dipolo magnético associada à corrente (magneton de Bohr), e mostre que μ B L = e 2 m razão giromagnética clássica. Obtenha o valor numérico de μ B .

Passo 1

Se liga! Vamos começar lembrando que a força produzida é

F = i B l

Pela 2ª lei de Newton, temos

m a = m v 2 r = i B l     .

Levando em consideração que a força magnética é

F M = q v B

E que o elétron percorre uma trajetória circular, podemos escrever

e v B = m v 2 r ⟹ B = m v e r

Portanto

m v 2 r =   i m v e r     l

Onde o l é o comprimento da circunferência de raio r . Sendo assim teremos

m v 2 r =   i m v e r     2 π r

⇒ i = v e 2 π r

Passo 2

Não sabemos a velocidade. Mas, usando expressão do momento angular, podemos coloca-la em função do ℏ .

i = e ℏ 2 π m r 2

Agora só precisamos substituir os valores

i = 1,6 × 10 - 19 × 1,055 × 10 - 34 2 π × 9,11 × 10 - 31 × 5,32 × 10 - 11 2 ≈ 1,04 × 10 - 3 A

Passo 3

Sabendo que o campo magnético para uma espira de raio r é

B = μ 0 i 2 π

Só precisamos substituir os valores

B = 4 π × 10 - 7 × 1,04 × 10 - 3 2 × 5,32 × 10 - 11 ≈ 12,4   T

Passo 4

Para o item (d), temos

μ B = i A

Onde A é a área da circunferência de raio r . Reescrevendo A e substituindo a corrente teremos

μ B = e ℏ 2 π m r 2   π r 2  

Como ℏ = L , temos

μ B L = e 2 m

Agora só precisamos substituir os valores passa descobrir o valor de

μ B = e L 2 m = 1,6 × 10 - 19 × 1,055 × 10 - 34 2 × 9,11 × 10 - 31 ≈ 9,3 × 10 - 24     A . m 2

Resposta

b )       i ≈ 1,04 × 10 - 3 A

c )         B ≈ 12,4   T

d )         μ B ≈ 9,3 × 10 - 24     A . m 2

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