Enunciado

O nível de intensidade sonora em determinado ponto de uma sala de aula vazia é 40   d B . Quando 100 estudantes estão escrevendo durante um exame, o nível de ruído naquele ponto aumenta para 60   d B . Supondo contribuições iguais de potência sonora por parte de todos os alunos, determine o nível de intensidade sonora naquele ponto depois que 50 alunos deixaram a sala.

Passo 1

Quando vários alunos estão emitindo ruídos, as intensidades sonoras (em W / m 2 vão se somar), então se I 1 é a intensidade sonora gerada por um aluno, o nível sonoro gerado por n alunos é:

β n = 10   d B log ⁡ n I 1 + I f I 0

Onde I f é a intensidade sonora do som de fundo da sala mesmo quando vazia, que sabemos ter um nível sonoro de 40   d B .

Então vamos usar o caso β = 40   d B , n = 0 para calcular I f :

40   d B = 10   d B log ⁡ I f 10 - 12

Lembrando que I 0 = 10 - 12   W / m 2 .

I f 10 - 12 = 10 4

I f = 10 - 8   W / m 2

Passo 2

Agora podemos ajustar a nossa fórmula:

β n = 10   d B log ⁡ n I 1 + 10 - 8 I 0

Sabemos que quando n = 100 , β = 60   d B :

  60   d B = 10   d B log ⁡ 10 2 I 1 + 10 - 8 10 - 12

Cortando os decibéis e transformando o logaritmo em uma exponencial:

10 2 I 1 + 10 - 8 10 - 12 = 10 6

10 2 I 1 + 10 - 8 = 10 - 6

10 2 I 1 = 10 - 6 - 10 - 8

E como 10 - 8 ≪ 10 - 6 , podemos simplesmente desprezar essa subtração:

I 1 = 10 - 8   W / m 2

Passo 3

Agora podemos usar essa informação para calcular β quando n = 50 :

β 50 = 10   d B log ⁡ 50 I 1 + I f I 0

β 50 = 10   d B log ⁡ 50 10 - 8 + 10 - 8 10 - 12

β 50 ≅ 57   d B

Resposta

O nível de intensidade sonora depois que 50 alunos deixam a sala é 57   d B .

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