Uma partícula de massa m se move, a partir do repouso em t = 0, sob a influência de uma força constante única F → . Mostre que a potência desenvolvida pela força, em qualquer tempo, é P = F 2 t / m .

Passo 1

Olá, querido! Então, temos a seguinte situação: uma partícula sai do repouso e se move por causa de uma força constante F → .

Se a força é constante e a partícula sai do repouso, a gente pode imaginar que o movimento da partícula teve sempre a mesma direção e sentido, certo?

Só para ter um referencial, vamos dizer então que a força está na direção de x , e que a velocidade da partícula, já que ela se move por causa da força, também vai estar na direção x , com o mesmo sentido da força:

Aí a gente escreve o vetor força F → assim com i ^ para demonstrar que ela tem módulo F e está no sentido x positivo. O mesmo acontece para v → .

Mas para que isso tudo? Cara, porque ele pede a potência desenvolvida pela força. A gente tem que a potência desenvolvida é dada pela fórmulinha:

P = F → ⋅ v →

Ou seja, é um produto escalar entre força e velocidade. Como os dois vetores só tem componente x no nosso caso, o produto escalar vai ser apenas esse produto entre os módulos dos vetores:

P = F v

A ideia é a gente partir disso e chegar na expressão que ele deu. Bora!

Passo 2

Precisamos da expressão de v , o módulo da velocidade da partícula.

Como a partícula sai do repouso e começa a se mover por causa de uma força constante, a gente vê que há em ação uma aceleração a causada sobre a partícula pela força F → .

Ou seja, o movimento da partícula é um movimento de aceleração constante. A velocidade em função do tempo para esse tipo de movimento é dado pela fórmulinha da cinemática:

v = v 0 + a t

Mas a velocidade inicial da partícula é v 0 = 0 porque ela sai do repouso, então:

v = a t

Jogando isso na expressão da potência:

P = F v

P = F a t

P = F a t

Passo 3

Mas a gente não tem a também né? A gente pode achar uma expressão para ela pela segunda lei de Newton no eixo x :

∑ F x = m a x

Temos que a aceleração nesse sentido é a , a massa da partícula é m mesmo e a única força sobre a partícula nessa direção é F . Substituindo

F = m a

Isolando o a :

a = F m

E jogando isso na potência de novo:

P = F a t

P = F F m t

P = F 2 t m

Provamos o que ele pediu!

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