Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 53
Partindo do repouso no cais, um barco a motor, em um lago, aponta para o norte enquanto ganha rapidez a uma taxa constante de 3,0 m/s² durante 20 s. O barco, então aponta para o oeste e continua por 10 s com a rapidez que tinha aos 20 s. (a) Qual é a velocidade média do barco durante a viagem de 30 s? (b) Qual é a aceleração média do barco durante a viagem de 30 s? (c) Qual é o deslocamento do barco durante a viagem de 30 s?
Passo 1
a) Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
O enunciado nos diz que o barco executa dois movimentos. Em um primeiro momento, de a segundos, o barco se movimenta com aceleração constante e nos próximos 10 segundos, ele se movimenta com velocidade constante.
Nos é perguntada a velocidade média durante os 30 segundos. A definição de velocidade média nos diz:
é o tempo decorrido, então vai ser os . Já é o deslocamento do nosso barco. Como tivemos dois movimentos diferentes, podemos dizer que esse vetor deslocamento é a soma de dois vetores deslocamentos:
Substituindo essas coisas na nossa expressão para a velocidade:
A ideia é a gente calcular que é o deslocamento para o movimento com aceleração constante e que é o deslocamento para velocidade constante. Vamos lá!
Obs: Vamos dizer que o norte é o sentido positivo do nosso eixo e o leste é o sentido positivo do eixo (oeste fica sendo o sentido negativo de )
Passo 2
No primeiro momento temos aceleleração constante. Então a gente pode usar as expressões para esse tipo de movimento. No caso escalar, o deslocamento com aceleração constante era dado por
Como temos grandezas vetoriais, podemos usar a mesma expressão, mas mudando a notação para achar o vetor deslocamento :
Como velocidade inicial é nula pois o barco sai do repouso, temos :
Para o segundo momento, temos um movimento com velocidade constante. No caso escalar, o deslocamento era dado por
No caso vetorial, fica bem parecido, o que muda é que o deslocamento e a velocidade agora são vetores:
Agora podemos substituir os valores:
Temos todas essas informações menos . Vamos achar essa bonita!
Passo 3
O enunciado diz que a rapidez final do primeiro momento é igual a rapidez do segundo momento, logo, precisamos achar essa rapidez final.
Rapidez é o módulo da velocidade e nosso primeiro movimento é retilíneo, então vamos usar a expressão escalar mesmo para achar essa fofa.
Para o caso escalar, quando a gente queria achar a rapidez final de um deslocamento com aceleração constante, a gente usava:
A velocidade inicial do barco é nula, então . A aceleração tem módulo . Já o tempo decorrido é o tempo do primeito movimento, que é . Substituindo:
Essa é rapidez final do barco do primeiro momento. Que vai ser a rapidez de todo o segundo percurso. Porém, o movimento no segundo momento será na direção oeste, sentido negativo de x. Então a velocidade do segundo momento vai ter módulo e direção :
Passo 4
Agora a gente pode calcular o deslocamento total:
A aceleração do primeiro momento está na direção norte, logo ela tem direção e vale . Assim temos:
A velocidade média será:
Passo 5
b) A aceleração média na forma vetorial é dada por:
Vamos calcula-la para todo o percurso, então
A velocidade inicial de todo o percurso é nula porque o barco sai do repouso. Já a velocidade final é a velocidade final do segundo momento. Já que a velocidade dele é constante, e vale , ela vai ser a velocidade final
Substituindo na expressão da aceleração:
Passo 6
c) Vimos no item (a) que o deslocamento é a soma do deslocamento dos dois movimentos e vale: