Uma película uniforme fina de um material com índice de refração 1,40 reveste uma placa de vidro de índice de refração 1,55 . Essa película tem a espessura adequada para cancelar uma luz de comprimento de onda 525   n m que incide perpendicularmente a partir do ar sobre a superfície da película, mas é um pouco maior do que a espessura mínima necessaria para efetuar esse cancelamento. Com o passar do tempo, a película de desgasta a uma taxa constante de 4,20   n m por ano. Qual é o número mínimo de anos para que a luz refletida com esse comprimento de onda passe a ser reforçada em vez de cancelada?

Passo 1

Vamos pensar no seguinte: se a luz estava sofrendo interferência destrutiva, o que a gente pode afirmar sobre a diferença de caminho?

Bom, com certeza ela seguia essa fórmula aqui:

d d e s = m + 1 2 λ

Se você quer atingir interferência construtiva, então d tem que passar a obedecer essa fórmula aqui:

d c o n s = m λ

Então a variação da diferença de caminho é:

Δ d = d c o n s - d d e s

Δ d = m λ - m + 1 2 λ = - 1 2 λ

Ou seja, a diferença de caminho tem que diminuir em meio comprimento de onda!

Mas já que estamos lidando com um índice de refração diferente no material, temos que ajustar o comprimento de onda pelo índice n , então:

Δ d = 1 2 λ n

Passo 2

Agora vamos ver como essa diferença de caminho se relaciona com a espessura t da camada:

Então, considerando a “ida e a volta” da luz na camada:

d = 2 t

Ou seja:

Δ d = 2 Δ t

Substituindo com a equação do passo de cima:

2 Δ t = 1 2 λ n

Δ t = 1 4 525   n m 1,40 = 93,75   n m

Passo 3

Se a película se desgasta por 4,20   n m por ano, então para desgastar 93,75   n m , o tempo necessário é:

T = 93,75   n m 4,20   n m / a n o

T = 22,32   a n o s

Ou seja, a luz vai deixar de ser “cancelada” depois de aproximadamente 22,3 anos.

Resposta

A luz passará a ser reforçada após cerca de 22,3 anos.

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