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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 19.5 - Ex. 32

A 20   ° C e a uma pressão de 750   t o r r , o livre caminho médio do argônio ( A r ) é λ A r = 9,9.10 - 6   c m e o livre caminho médio da molécula de nitrogênio ( N 2 ) é λ N 2 = 27,5.10 - 6   c m . (a) Determine a razão entre o diâmetro de um átomo de A r e o diâmetro de uma molécula de N 2 . Qual é o livre caminho médio do argônio (b) a 20   ° C e 150   t o r r e (c) a - 40   ° C e 750   t o r r ?

Passo 1

Ok, relaxa, é mais fácil do que parece.

As fórmulas para o livre caminho médio nos casos do argônio e do nitrogênio vão ser essas aqui

λ A r = 1 2 π d A r 2 ( N / V ) = 9,9   .   10 - 6   c m

λ N 2 = 1 2 π d N 2 2 ( N / V ) = 27,5   .   10 - 6   c m

Passo 2

(a) E então a razão entre os dois vai ser isso aqui:

1 2 π d A r 2 N V 1 2 π d N 2 2 ( N / V ) = 9,9   .   10 - 6 27,5   .   10 - 6

Ou seja:

2 π d N 2 2 ( N / V ) 2 π d A r 2 ( N / V ) = 0,36

Portanto tudo o que for possível:

d N 2 d A r 2 = 0,36

d N 2 d A r = 0,6

Mas a questão pediu o diâmetro do argônio sobre o do nitrogênio, ou seja, o inverso disso aí:

d N 2 d A r = 1 0,6 ≅ 1,7

Passo 3

(b) Agora queremos achar o livre caminho médio do argônio quando:

T = 20 ° C = 293   K

p = 150   t o r r = 2,0   .   10 4   P a

A fórmula do livre caminho médio é essa aqui:

λ = 1 2 π d 2 ( N / V )

E é importante saber que dá pra usar a lei dos gases ideais pra trocar esse N / V   por outra coisa mais conveniente:

p V = n R T

n V = p R T

Mas a gente sabe que:

n = N N A

Onde N é o número de moléculas na amostra e N A é o número de Avogadro. E então:

N V = N A p R T

Voltando na fórmula de antes:

λ = 1 2 π d 2 N A p R T = R T 2 π d 2 N A p

Então tá, vamos ver como fica a razão entre o livre caminho médio novo e o antigo:

λ 2 λ 1 = R T 2 2 π d 2 N A p 2 R T 1 2 π d 2 N A p 1 = T 2 p 2 . p 1 T 1  

No caso da letra (b), a temperatura foi mantida igual e a pressão mudou, de forma que:

λ 2 λ 1 = p 1 p 2

λ 2 λ 1 = 750 150 = 5

λ 2 = ( 5 ) ( 9,9.10 - 6 )

λ 2 ≅ 5,0   .   10 - 5   c m

Passo 4

E no caso da letra (c), a pressão foi mantida igual e a temperatura foi de:

T 1 = 20 ° C = 293   K

Para:

T 2 = - 40 ° C = 233   K

Ou seja:

λ 2 λ 1 = 233 293 = 0,79522

λ 2 = 0,79522 9,9.10 - 6

λ 2 = 7,9   .   10 - 6   c m

Resposta

(a) A razão é 1,7 .

(b) λ 2 = 5,0   .   10 - 5   c m   .

(c) λ 2 = 7,9   .   10 - 6   c m .

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