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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 105

Uma reação nuclear. A fissão, processo que fornece energia para um reator nuclear, ocorre quando um núcleo pesado é dividido em dois núcleos com pesos médios. Uma dessas reações ocorre quando um nêutron colide com um núcleo de 235U (urânio) dividindo-o em um núcleo de 141Ba (bário) e um núcleo de 92Kr (criptônio). Nessa reação, dois nêutrons também são emitidos do núcleo de 235U original. Antes da colisão, a configuração é indicada na Figura 8.49a. Depois da colisão o núcleo de 141Ba se move no sentido do eixo + O z e o núcleo de 92Kr se move no sentido do eixo - O z . Os três nêutrons passam a se mover no plano xy como mostra a Figura 8.49b. Sabendo que o módulo da velocidade do nêutron original é de 3.0 ⋅ 10 3   m / s e que o módulo da sua velocidade final é de 2.0 ⋅   10 3   m / s com as direções indicadas, quais são as velocidades dos outros dois nêutrons e o que você pode afirmar sobre as velocidades dos núcleos 141Ba e 92Kr? (A massa do núcleo de 141Ba é aproximadamente igual a 2.3 ⋅   10 - 25   k g e a do núcleo de 92Kr é aproximadamente igual a 1.5 ⋅   10 - 25   k g .)

Passo 1

O enunciado nos dá uma situação onde uma partícula se choca com outra gerando mais três partículas. Podemos encontrar as velocidades dos outros dois nêutrons emitidos através de conservação de momento

Passo 2

Vamos começar utilizando a conservação de momento no eixo x. Temos que nenhuma força está agindo em nenhuma das direções, portanto é válida considerar a conservação de momento da forma que conhecemos.

P i x = P f x

m n o ⋅ v i n o x = m n o ⋅ v f n o x + m n 1 e ⋅ v n 1 e x + m n 2 e ⋅ v n 2 e x

Onde, os índices n o ,   n 1 e   e   n 2 e se referem respectivamente a nêutron original, nêutron 1 emitido e nêutron 2 emitido, sendo 1 o nêutron que faz 45º para cima e 2 o nêutron que faz 30º para baixo.

Temos que v f n o x = v f n o ⋅ c o s ⁡ ( 10 º ) , v n 1 e x = v n 1 e ⋅ cos ⁡ 45 º e v n 2 e x = v n 2 e ⋅ cos ⁡ 30 º são as velocidades na componente x. Assim, nossa relação fica da seguinte forma:

m n o ⋅ v i n o x = m n o ⋅ v f n o ⋅ cos ⁡ 10 º + m n 1 e ⋅ v n 1 e ⋅ cos ⁡ 45 º + m n 2 e ⋅ v n 2 e ⋅ cos ⁡ 30 º

m n o ⋅ v i n o x - v f n o ⋅ cos ⁡ 10 º = m n 1 e ⋅ v n 1 e ⋅ cos ⁡ 45 º + m n 2 e ⋅ v n 2 e ⋅ cos ⁡ 30 º

Mas, m n o = m n 1 e = m n 2 e = m , pois todas as partículas são nêutrons, logo:

v i n o x - v f n o ⋅ cos ⁡ 10 º = v n 1 e ⋅ cos ⁡ 45 º + v n 2 e ⋅ cos ⁡ 30 º

Agora vamos analisar a conservação em y. Temos que inicialmente, antes da colisão, as partículas não se movem em y, portanto o momento inicial P i y = 0 . Assim, temos que:

P i y = P f y

0 = m ⋅ v n 1 e y + m ⋅ v n 2 e y + m ⋅ v f n o y

Mas v f n o y = v f n o ⋅ s i n ( 10 º ) , v n 1 e y = v n 1 e ⋅ sin ⁡ 45 º e v n 2 e y = v n 2 e ⋅ sin ⁡ 30 º . Logo, temos que:

0 = v n 1 e ⋅ sin ⁡ 45 º - v n 2 e ⋅ sin ⁡ 30 º + v f n o ⋅ s i n ( 10 º )

v n 1 e ⋅ sin ⁡ 45 º = + v n 2 e ⋅ sin ⁡ 30 º - v f n o ⋅ s i n ( 10 º )

Sabemos também que sin ⁡ 45 º = cos ⁡ 45 º = 2 2 . Logo, podemos substituir uma equação na outra. Vamos substituir v n 1 e ⋅ sin ⁡ 45 º na primeira relação encontrada.

v i n o x - v f n o ⋅ cos ⁡ 10 º = v n 1 e ⋅ cos ⁡ 45 º + v n 2 e ⋅ cos ⁡ 30 º

v i n o x - v f n o ⋅ cos ⁡ 10 º = v n 2 e ⋅ sin ⁡ 30 º - v f n o ⋅ s i n 10 º + v n 2 e ⋅ cos ⁡ 30 º

3.0 ⋅ 10 3 m / s - 2.0 ⋅   10 3   m / s ⋅ cos ⁡ 10 º = v n 2 e ⋅ sin ⁡ 30 º - 2.0 ⋅   10 3   m / s ⋅ sin ⁡ 10 º + v n 2 e ⋅ cos ⁡ 30 º

1030.4   m / s = v n 2 e ⋅ sin ⁡ 30 º - 347.3 m / s + v n 2 e ⋅ cos ⁡ 30 º

v n 2 e = 1030.4   m / s + 347.3 m / s sin ⁡ 30 º + cos ⁡ 30 º = 1010 m / s

E a velocidade do nêutron 1 será, usando a primeira relação:

1030.4   m / s   = v n 1 e ⋅ cos ⁡ 45 º + 1010   m / s ⋅ cos ⁡ 30 º

v n 1 e = 1030.4   m / s - 1010   m / s ⋅ cos ⁡ 30 º c o s ⁡ ( 45 º ) = 220   m / s

Sobre as duas partículas iniciais de Bário e de Criptônio, temos que ambos saem em direções contrarias de maneira que formam um ângulo de 180º. Sabemos também que nenhuma força age em + O z   e - O z , então podemos aplicar conservação de momento.

P i z = P f z

0 = m b á r i o ⋅ v b á r i o - m c r i p t ô n i o ⋅ v c r i p t ô n i o

v b á r i o = m c r i p t ô n i o m b á r i o ⋅ v c r i p t ô n i o = 1.5 ⋅ v c r i p t ô n i o

Não conseguimos descobrir qual o valor de suas velocidades, mas sabemos conseguimos saber o quanto maior ou menor uma pode ser em relação a outra.

Resposta

Resposta: v n 1 e = 220   m / s , v n 2 e = 1010   m / s

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