Exercícios de Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa - Lista de Exercícios Resolvida

Duas pessoas, de mesma massa , estão de pé e presas às extremidades opostas de uma prancha, de comprimento e massa desprezível, que inicialmente se encontra em repouso sobre uma pista de gelo, como mostrado na figura. A pessoa da direita joga, com certa velocidade horizontal, uma bola de massa em direção à outra pessoa que consegue pegá-la. Despreze os efeitos da resistência do ar e do atrito entre a prancha e a pista de gelo. Para um observador parado na borda da pista:

Encontre a equação que descreve a posição do centro de massa () do conjunto prancha + pessoas + bola enquanto a bola vai da direita para a esquerda. Justifique sua resposta com argumentos físicos.

Encontre as equações da velocidade e da posição do centro da prancha (que inicialmente vale ) enquanto a bola vai da direita para a esquerda, em função das massas e da velocidade da bola.

Determine a posição da pessoa da direita, no momento em que a bola é agarrada pela pessoa da esquerda, usando o referencial da figura.

O que acontece com o conjunto prancha + pessoas + bola após que a pessoa da esquerda agarrou a bola? Justifique sua resposta com argumentos físicos.

Um projétil é lançado de uma plataforma do ponto e num dado instante após ser lançado ele se fragmenta em dois pedações de massa e , que caem simultaneamente nas posições horizontais e respectivamente. Se o projétil não se fragmentasse o seu alcance seria,

;

;

;

;

;

Uma jovem de está em pé sobre uma canoa de e comprimento igual a . Ela caminha a partir de um ponto situado a de uma das extremidades da canoa até atingir a outra extremidade da canoa. Desprezando a resistência da água ao movimento da canoa, qual a distância que a canoa se move nesse processo?

Sobre uma mesa horizontal perfeitamente lisa repousa um sistema formado por duas pequenas massas e , ligadas por uma mola de massa desprezível e que se encontra relaxada. A partir do instante passa a atuar sobre a massa uma força externa constante paralela à mesa, e uma força sobre a massa . Pode-se afirmar que para

O centro de massa do sistema se move ao longo de uma reta

O momento linear total do sistema se conserva

A velocidade do centro de massa é uma função quadrática do tempo

A distância entre as massas e permanece constante

O momento angular total do sistema, referido ao centro de massa, permanece constante

Uma granada está em repouso sobre uma mesa horizontal e sem atrito. Num dado instante ela explode em dois fragmentos de massas e velocidades diferentes, onde os fragmentos permanecem movimentando-se sobre a mesa. É possível afirmar que:

A energia cinética é conservada.

A posição do centro de massa das partículas varia com o tempo.

O momento linear total do sistema não é conservado.

A velocidade do centro de massa é nula após a explosão.

Nenhuma das opções acima está correta.

Um homem de sentado na popa de uma canoa de e de comprimento, conseguiu trazê-la para uma posição em que está parada, encostada perpendicularmente a um pequeno ancoradouro. Na proa da canoa encontra-se a sua namorada (). Se os dois trocarem de lugar, de que distância a canoa se afastará do ancoradouro?

Um homem de massa está na cesta de um balão de ar quente de massa , que se encontra a uma altura em relação ao solo. Devido a uma força de sustentação do ar conhecida como empuxo, o balão está em repouso em relação ao solo. O homem decide descer do balão usando uma escada de corda de suspensa que toca levemente o solo, conforme a figura.

Se o homem começar a descer pela escada com velocidade (em relação ao balão), qual o sentido e qual a velocidade com que o balão irá se mover em relação ao solo?

Após descer os até o final da escada, o balão terá subido e o homem se encontrará a uma distância entre a base da escada e o solo. Calcule o valor da distância .

Um menino, de massa , encontra-se na extremidade esqueda de um barco de comprimento e massa , distribuída homogeneamente. Inicialmente o conjunto, barco e menino, move-se para a direita com velocidade constante , em relação a um referencial inercial colocado na margem do lago. Num dado instante o menino move-se para a extremidade direita do barco, onde permanece. Nesta situação o conjunto move-se com velocidade constante em relação ao mesmo referencial inercial. Desprezando-se o atrito entre o barco e a água, pode-se afirmar, ao fim do processo, que:

1. .
2. .
3. .
4. Não se pode determinar , pois não se conhece a força exercida pelo menino sobre o barco.
5. Não se pode determinar , pois não se conhece a velocidade inicial do centro de massa do sistema barco-menino.

Uma bola de gude de desloca-se com velocidade de da direita para a esquerda sobre uma pista horizontal sem atrito e colide frontalmente com a outra bola de gude de que se desloca com velocidade de da esquerda para a direita (figura abaixo). (a) Determine o módulo, a direção e o sentido de cada bola de gude depois da colisão (como a colisão é frontal, todos os movimentos ocorrem ao longo da mesma linha reta). (b) Calcule a variação do momento linear (isto é, o momento linear depois da colisão menos o momento linear antes da colisão) para cada bola de gude. Compare os valores obtidos para cada bola de gude. (c) Calcule a variação de energia cinética (isto é, a energia cinética depois da colisão menos a energia cinética antes da colisão) para cada bola de gude. Compare os valores obtidos para cada bola de gude.

Entre e , um corpo (1) de massa se move na direção horizontal positiva (), com velocidade . Ele então colide, em , com um corpo em repouso (2), de massa , e os dois corpos saem grudados.

a) Calcule a velocidade dos corpos 1 e 2 após a colisão.

Em , o corpo 2 explode enviando um fragmento de massa com uma velocidade na direção positiva do eixo .

b) Calcule a velocidade do resto do sistema após .

c) Calcule a velocidade do CM total (corpos 1 e 2, inteiros ou não) para , e .

Dois amigos estão sentados em um trenó que está voltado para o Norte. O trenó encontra-se inicialmente em repouso sobre uma superfície de gelo sem atrito. A massa do primeiro amigo é igual a , a do segundo é igual a e a massa do trenó é igual a . Em um dado instante os dois amigos decidem pular simultaneamente do trenó. O primeiro amigo salta na direção Leste com módulo da velocidade igual a e o segundo amigo salta na direção Noroeste com módulo da velocidade de . Use caso seja necessário.

a) De quanto se deslocou o centro de massa do sistema após os saltos?

b) Determine a velocidade do trenó (módulo direção e sentido) depois que eles saltam.

c) Faça um diagrama das velocidades finais dos dois amigos e do trenó.

Um disco de massa , inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito, sofre uma colisão não-frontal com um segundo disco de massa , movendo-se inicialmente ao longo do eixo com velocidade escalar constante . Após a colisão, o segundo disco passa a ter velocidade escalar e sai a um ângulo em relação ao eixo positivo, veja a figura. Use o sistema de coordenadas fornecido.

a) Ache o vetor velocidade de centro de massa dos discos antes da colisão.

b) Em termos dos vetores unitários e , determine o vetor velocidade do disco 1 após a colisão. Calcule o ângulo com que ele emerge.

c) A colisão é elástica ou não? Justifique com cálculos. Determine a razão entre as energias cinéticas depois e antes da colisão.d) Determine o vetor velocidade do centro de massa do sistema após a colisão, explicitamente usando seu resultado da letra . Compare com o resultado da letra e discuta.

Um homem de massa está na cesta de um balão de ar quente de massa , que se encontra a uma altura em relação ao solo. Devido a uma força de sustentação do ar conhecida como empuxo, o balão está em repouso em relação ao solo. O homem decide descer do balão usando uma escada de corda de suspensa que toca levemente o solo, conforme a figura.

a) Se o homem começar a descer pela escada com velocidade (em relação ao balão), qual o sentido e qual a velocidade com que o balão irá se mover em relação ao solo?

b) Após descer os até o final da escada, o balão terá subido e o homem se encontrará a uma distância entre a base da escada e o solo. Calcule o valor da distância .

Calculadoras científicas simples são autorizadas.

Eduardo e Mônica resolvem fazer um romântico passeio de canoa. Eduardo, com , senta-se em um extremo da canoa, enquanto Mônica, com , senta-se no outro extremo. A ponta em que está sentado Eduardo dista de da margem. O barco tem um comprimento total de e massa de . Quebrando o romantismo, Eduardo se dá conta de que esqueceu os remos na margem e tem a seguinte ideia: se eles trocam de lugar, o barco deverá se mover em direção à margem e com isto Mônica pode tentar alcançar os remos. Para não perderem o equilíbrio, primeiro caminhou Mônica, depois Eduardo.

a) Durante o deslocamento de Mônica, a canoa tem uma velocidade escalar de em relação à água. Qual é a velocidade de Mônica, também em relação à água?

b) O braço de Mônica tem 60 cm. Ao final do deslocamento de ambos, ela consegue alcançar os remos? (despreze a variação do centro de massa de Mônica ao esticar um braço)

Justifique claramente o desenvolvimento em ambos itens!

Um homem pesando está parado sobre um vagão que pesa . O vagão está em repouso sobre os trilhos horizontais sem atrito. Se o homem começa a andar sobre o vagão com uma velocidade de , então após seu deslocamento em relação ao chão será:

A.

B.

C.

D.

E.

Sobre uma mesa horizontal perfeitamente lisa repousa um sistema formado por duas pequenas massas e , ligadas por uma mola de massa desprezível e que se encontra relaxada. A partir do instante passa a atuar sobre a massa uma força externa constante paralela à mesa, e uma força sobre a massa . Pode-se afirmar que para

1. O centro de massa do sistema se move ao longo de uma reta
2. O momento linear total do sistema se conserva
3. A velocidade do centro de massa é uma função quadrática do tempo
4. A distância entre as massas e permanece constante
5. O momento angular total do sistema, referido ao centro de massa, permanece constante

Três pequenos discos de massas , e estão ligados por barras ideais (rígidas) de massas desprezíveis. Este sistema está apoiado sobre uma mesa horizontal lisa. Em um dado instante aplicam-se duas forças, e , sobre os discos de massas e , respectivamente. As forças são paralelas ao plano da mesa como mostra a figura (mesa vista de cima). No instante considerado a aceleração do centro de massa do sistema constituído pelos discos e pelas barras é:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h) O centro de massa permanece em repouso.

Um homem de massa está em pé sobre uma das extremidades de uma prancha que flutua num lago de águas calmas. A massa da prancha, que é distribuída de maneira uniforme em seu comprimento , é . O homem começa a andar em direção à outra extremidade da prancha. Desprezando o atrito entre água e a prancha, determine a distância que a prancha percorre durante o percurso do homem de uma extremidade à outra da prancha.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Duas pessoas, de mesma massa , estão de pé e presas às extremidades opostas de uma prancha, de comprimento e massa desprezível, que inicialmente se encontra em repouso sobre uma pista de gelo, como mostrado na figura. A pessoa da direita joga, com certa velocidade horizontal, uma bola de massa em direção à outra pessoa que consegue pegá-la. Despreze os efeitos da resistência do ar e do atrito entre a prancha e a pista de gelo. Para um observador parado na borda da pista:

(a) Encontre a equação que descreve a posição do centro de massa () do conjunto prancha + pessoas + bola enquanto a bola vai da direita para a esquerda. Justifique sua resposta com argumentos físicos.

(b) Encontre as equações da velocidade e da posição do centro da prancha (que inicialmente vale ) enquanto a bola vai da direita para a esquerda, em função das massas e da velocidade da bola.

(c) Determine a posição da pessoa da direita, no momento em que a bola é agarrada pela pessoa da esquerda, usando o referencial da figura.

(d) O que acontece com o conjunto prancha + pessoas + bola após que a pessoa da esquerda agarrou a bola? Justifique sua resposta com argumentos físicos.

Um sistema é constituído por duas partículas de massas e , presas às extremidades de uma mola de constante elástica . O sistema está inicialmente em repouso em uma mesa horizontal sem atrito e a mola encontra-se na sua posição natural, como mostrado na figura. No instante começam a atuar duas forças constantes de mesmo módulo como indicado na figura. Utilizando os unitários relativos ao sistema de eixos indicado na figura determine:

a) O vetor posição do centro de massa do sistema quando este se encontra em repouso.

b) O vetor posição do centro de massa para um instante posterior a .

Um homem de massa M/5 está em pé sobre uma das extremidades de uma prancha que repousa sobre a superfície de uma lago congelado. A massa da prancha, que é distribuída de maneira uniforme em seu comprimento L, é M. O homem começa a andar em direção à outra extremidade da prancha. Desprezando o atrito entre o gelo e a prancha, determine a distância D que a prancha percorre ao fim do percurso do homem de uma extremidade à outra da prancha.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Um bloco de massa está em repouso em um plano horizontal sem atrito quando é atingido por uma bala de massa que se deslocava com velocidade . A bala atinge o bloco e o atravessa, emergindo com velocidade . Desconsidere a perda de massa do bloco, bem como quaisquer efeitos gravitacionais.

(a) Qual é a velocidade do bloco depois que a bala o atravessa?

(b) Quanta energia foi dissipada na colisão?

(c) Qual é a variação na velocidade do centro de massa no evento acima?

Duas partículas de mesma massa estão ligadas por uma corda de massa desprezível. Uma das partículas é lançada para cima com velocidade , enquanto a outra está em repouso no chão. É correto afirmar sobre o centro de massa desta distribuição:

descreve uma trajetória com aceleração para baixo, mesmo enquanto uma das massas ainda está em contato com o chão.

descreve uma trajetória com aceleração para baixo a partir do momento que as duas bolas perdem o contato com o chão, com exceção dos momentos em que a corda está tensionada.

descreve uma trajetória com aceleração para baixo a partir do momento que as duas bolas perdem o contato com o chão.

descreve uma trajetória com aceleração menor que , para baixo a partir do momento que as duas bolas perdem o contato com o chão.

não é possível calcular a aceleração do centro de massa sem descrever a força de tensão da corda.

Dois blocos de massas iguais deslizam sobre uma superfície horizontal de maneira que o atrito entre eles e a superfície é desprezível. O movimento acontece na presença do campo gravitacional terrestre. Os módulos das velocidades iniciais dos blocos são tais que . O bloco carrega consigo uma mola (ver figura abaixo) de constante elástica cuja massa é desprezível.

No referencial em que o centro de massa está em repouso, é incorreto afirmar que:

a energia mecânica é menor que no referencial original

os dois blocos estão em repouso no instante da compressão máxima

a energia potencial é menor que no referencial original

o momento linear total é zero

o momento linear dos blocos tem o mesmo módulo mas sentido contrário

Felipe e Bruna estão parados sobre uma plataforma plana. Felipe de massa 70 kg se encontra em uma extremidade que coincide com a origem enquanto Bruna de massa 55 kg se encontra na extremidade oposta a uma distância de 3,0 m de Felipe. A plataforma possui massa de 100 kg e pode se deslocar livre de atrito.

1. Encontre a posição do centro de massa do sistema Felipe-Bruna-Plataforma ao longo do eixo x em relação à origem.
2. Felipe e Bruna caminham sobre a plataforma em direções oposta até trocarem de lugar. No final desta troca de lugar, a plataforma se desloca d com relação à origem, encontre este deslocamento d.

(Cap 9 – Ex 98) Um homem de , que estava em um carrinho de golfe de que se movia a uma velocidade de , pulou do carrinho com velocidade horizontal nula em relação ao chão. Qual foi a variação da velocidade do carrinho, incluindo o sinal?

As quatro partículas, cujas velocidades são mostradas na figura, têm a mesma massa e movem-se com a mesma rapidez constante.

O seguinte par de partículas forma um sistema cujo centro de massa permanece em repouso na origem:

(A) a e b

(B) a e c

(C) b e c

(D) a e d

(E) b e d

(Cap 9 – Ex 98) Dois blocos de massas e estão ligados por uma mola e repousam em uma superfície sem atrito. Os blocos começam a se mover um em direção ao outro de modo que o bloco de viaja inicialmente a em direção ao centro de massa, que permanece em repouso. Qual é a velocidade inicial do outro bloco?

Duas partículas inicialmente separadas sofrem uma colisão totalmente inelástica na ausência de forças externas. Pode-se afirmar, sobre o sistema constituído pelas duas partículas, que

1. A energia cinética do centro de massa do sistema é a mesma antes e depois da colisão;
2. O módulo da velocidade do centro de massa do sistema é menor antes do que depois da colisão;
3. A energia cinética total do sistema é a mesma antes e depois da colisão;
4. O módulo da velocidade do centro de massa do sistema é maior antes do que depois da colisão;
5. A energia cinética total do sistema é menor antes do que depois da colisão.

Uma partícula em repouso está sobre uma mesa horizontal com atrito desprezível e cujo centro de massa coincide com a origem de coordenadas . No instante ela explode em três partículas menores. A partícula 1 se afasta da origem de coordenadas com um momento linear . A partícula 2 se afasta da origem com um momento linear .

a) Determine o momento linear da partícula 3 e o ângulo que ele faz em relação ao eixo 𝑥 positivo.

b) Sabendo que a explosão dura , calcule as forças responsáveis pela explosão e mostre que durante este processo .

c) Calcule a posição do centro de massa do sistema após a explosão.

Um bloco deslocando-se com momento linear , colide com um bloco de momento linear , onde é constante. Suponha que não há força externa. Após a colisão o centro de massa do sistema segue, de acordo com o sistema de coordenadas ortogonais e os respectivos vetories unitários , e :

1. na direção e sentido negativo;
2. na direção e sentido negativo;
3. na direção e sentido positivo;
4. na direção e sentido positivo;
5. em uma direção formando um ângulo com os eixos e .

Um sistema é composto por duas partículas que se movimentam em um plano horizontal . Em um dado instante , observa-se que as duas partículas, de massas e , partem da origem do sistema de coordenadas, com velocidades e , respectivamente. Sabendo-se que elas estão sujeitas somente a forças internas, o módulo do vetor posição do centro de massa (em metros) quando é:

Uma partícula de massa desloca-se sobre uma mesa horizontal, sem atrito, com velocidade . Num certo instante ela se desintegra espontaneamente em três fragmentos de massas , e com velocidades , e , com na mesma direção e sentido oposto a e perpendicular a e como mostrado na figura abaixo. O módulo da velocidade do fragmento de massa é . Em termos dos dados do problema, e , e utilizando o sistema de eixos da figura determine:

a) Os vetores velocidade e .

b) Os vetores velocidade dos fragmentos em relação ao referencial do centro de massa do sistema.

Um pescador de massa está sobre de um barco de massa . Ambos estão inicialmente em repouso. A extremidade do barco mais próxima da margem está a uma distância de da mesma. Assumindo que inicialmente o pescador está exatamente em cima do centro de massa do barco, qual é a distância mínima que ele deve caminhar em relação ao barco para que o barco toque a margem?

(a) na direção da margem, se aproximando da mesma;

(b) na direção da margem, se afastando da mesma;

(c) na direção da margem, se aproximando da mesma;

(d) na direção da margem, se afastando da mesma;

(e) na direção da margem, se aproximando da mesma;

(f) na direção da margem, se afastando da mesma;

(g) na direção da margem, se aproximando da mesma;

(h) na direção da margem, se afastando da mesma.

Dois pequenos discos, de massas e , se deslocam sobre uma mesa horizontal de coeficiente de atrito cinético com os discos . Inicialmente os discos possuem velocidades em direções perpendiculares cujos módulos são desconhecidos. Em um certo instante os discos colidem e passam a se deslocar juntos. Após a colisão o sistema se movimenta em uma direção que faz um ângulo com o eixo conforme a figura. Além disso observa-se que o sistema entra em repouso após percorrer uma distância desde o ponto onde ocorreu a colisão. Desprezando efeitos de rotação de cada disco, determine:

(b) Os vetores velocidade de cada disco no instante imediatamente anterior à colisão ocorrer.

(c) O vetor velocidade do centro de massa do sistema formado pelos discos no instante imediatamente anterior à colisão ocorrer.

Seja a colisão entre uma esfera de massa , cujo vetor posição é dado por e outra esfera de massa e vetor posição é dado por Imediatamente após a colisão, a esfera adquire uma velocidade de módulo e faz um ângulo de em relação ao eixo positivo. Considere o sistema isolado. Justifique suas respostas.

(a) Dado que o momento total do sistema imediatamente antes da colisão é , determine a velocidade do centro de massa imediatamente após a colisão.

(b) Determine a velocidade da esfera A imediatamente após a colisão.

(c) Determine se a colisão foi elástica ou inelástica.

Três átomos idênticos de massa se deslocam no plano horizontal com velocidade de mesmo módulo , de tal forma que os três colidem num determinado ponto. Antes da colisão, os átomos encontram-se sempre equidistantes um do outro conforme mostra a figura. Após a colisão, verifica-se que dois dos átomos formam uma molécula de massa , que se move ao longo do sentido negativo do eixo , com uma velocidade de modulo . O terceiro átomo move-se isoladamente após a colisão. Responda as questões abaixo usando como dados e .

A) Mostre que a velocidade do centro de massa do sistema formado pelos três átomos é nula.

B) Calcule o vetor velocidade do terceiro átomo após a colisão no sistema de coordenadas indicado na figura.

C) Calcule a variação da energia cinética do sistema devido à colisão.

Uma bomba em repouso explode no espaço e se parte num grande número de pequenos fragmentos. No local da explosão a força gravitacional é zero. Qual das seguintes afirmações sobre esse evento é verdadeira?

(a) A energia cinética é conservada no processo

(b) A soma das energias cinéticas dos fragmentos é necessariamente zero

(c) Todos os fragmentos têm necessariamente a mesma energia cinética

(d) O centro de massa do sistema permanece em repouso após a explosão

(e) As massas dos fragmentos devem ser iguais entre si