Uma rocha cai através da água com aceleração continuamente decrescente. Assuma que a aceleração da pedra como uma função da velocidade é dada por , onde é uma constante positiva. (A direção é vertical para baixo.) (a) Quais são as unidades de no SI? (b) Prove matematicamente que se a pedra é largada do repouso no tempo , a aceleração irá depender exponencialmente do tempo de acordo com . (c) Qual é a rapidez terminal para a pedra em termos de e ? (Veja o problema para uma explicação do fenômeno da rapidez terminal).

(b) Vamos lembrar da relação entre velocidade e aceleração:

Substituindo isso na função:

Isso é uma equação diferencial separável, e podemos resolver apenas isolando as variáveis e integrando dos dois lados:

E agora, para isolar , vamos aplicar nos dois lados da equação:

E só precisamos derivar em relação ao tempo para encontrar a aceleração:

(c) Por último queremos saber qual a rapidez terminal da pedra caindo no lado. Para isso precisamos dar uma olhada na função que encontramos para :

Se essa função se aproxima de algum limite conforme o tempo passa, esse limite será a rapidez terminal:

Quando , a exponencial tende a , que tende a zero, então: