Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 2.1 - Ex. 122
Para um objeto celestial de raio , a aceleração devida à gravidade a uma distância do centro do objeto é , onde é a aceleração devido à gravidade na superfície do objeto, e . Para a lua, tome e . Se uma pedra é solta a partir do repouso a uma altura acima da superfície lunar, com qual rapidez a pedra impacta a lua? Dica: a sua aceleração é uma função da posição e aumenta conforme o objeto cai. Então não use as equações para queda livre com aceleração constante, tente voltar às relações mais básicas.
Passo 1
Seguindo a dica do enunciado, vamos voltar às relações mais básicas. Estamos procurando uma relação entre a aceleração e a posição. A definição da aceleração dá:
E reescrevendo com a regra da cadeia:
E como nesse caso toda a aceleração é gravitacional, podemos substituir com a fórmula dada no enunciado:
Passo 2
Agora vamos integrar ambos os lados dessa equação diferencial separável, lembrando que queremos encontrar a rapidez final , com , conforme a posição vai de para :
E a forma integral indefinida dessa equação é:
Agora vamos substituir os limites de integração:
Agora vamos isolar a rapidez :
Substituindo os valores numéricos:
Resposta
A pedra impacta a lua com rapidez .