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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 110

Na Seção 8.6 consideramos um foguete disparado no espaço sideral, onde não existe gravidade nem resistência do ar. Suponha agora que o foguete esteja sendo acelerado verticalmente a partir da superfície terrestre. Continue desprezando a resistência do ar e suponha que o foguete atinja uma altura não muito elevada de modo que o valor de g possa ser considerado constante. a) Como a Equação (8.37) se modifica com a presença da força da gravidade? b) Deduza uma expressão análoga à Equação (8.39) para a aceleração a do foguete. c) Qual seria a aceleração do foguete no Exemplo 8.15 (Seção 8.6) supondo que ele esteja próximo da superfície terrestre em vez de estar no espaço sideral? Despreze a resistência do ar. d) Calcule a velocidade do foguete no Exemplo 8.16 (Seção 8.6) 90 s depois de ele ser disparado da superfície terrestre em vez de estar no espaço sideral. Despreze a resistência do ar. Como suas respostas se comparam com as velocidades obtidas no Exemplo 8.16?

Passo 1

Vamos tomar nosso sistema definindo + y para cima. Do exemplo 8.15 temos que v e x = 2400   m / s e d m d t =   - m o 120 s .

Do exemplo 8.16 tiramos que m = m o 4 depois de t = 90 s

Passo 2

  1. Da relação entre momento e impulso, temos que

    2. - m g d t = m + d m v + d v + d m ( v - v e x ) - m v

    Que pode ser simplificado para

    - m g d t = m   d v + v e x   d m   e m d v d t =   - v e x d m d t - m g  

    Passo 3

  2. Da Eq.

    3. - m g d t = m   d v + v e x   d m

    Temos que

    d v d t = - v e x m d m d t - g

    Passo 4

  3. Quando estamos muito próximo a superfície temos que vale a equação deduzida em (b).

    4. a =   - v e x m o d m d t - g =   - 2400   m / s - 1 120 s - 9,80   m / s 2 = 10,2   m / s 2

    Passo 5

  4. Partindo da relação

d v =   - v e x m   d m - g   d t

Obtemos pela integração

v - v o = v e x ln ⁡ m o m - g t

Tomando v o = 0

v   = 2400   m / s l n 4 - ( 9,80   m / s 2 ) 90 s = 2445   m / s .

Resposta

  1. - m g d t = m   d v + v e x   d m   e m d v d t =   - v e x d m d t - m g
  2. d v d t = - v e x m d m d t - g
  3. 10,2   m / s 2
  4. 2445   m / s
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