Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 37.Problemas - Ex. 49
49. Depois de ser produzido numa colisão entre partículas elementares, um píon positivo , para atingir o local de uma experiência, deve se deslocar ao longo de um tubo de comprimento igual a . Uma partícula possui vida média igual a (em relação ao sistema de repouso); o considerado possui essa vida média. Com que velocidade o deve se deslocar para que ele possa atingir a extremidade do tubo antes de decair? (Visto que deve ser muito próximo de , escreva e forneça sua resposta em função de em vez de .) O possui uma energia de repouso igual a . Qual é a energia total do , considerando a velocidade calculada no item ?
Passo 1
Então galera, o píon se move com uma velocidade muito perto de , então ocorre uma dilação temporal, o tempo que medimos será maior que o tempo de vida média do píon.
O que medimos deve satisfazer a seguinte relação , calculando temos:
Temos um tempo maior que o tempo de meia vida do píon observado em seu próprio referencial, mostrando que ouve uma dilatação temporal.
Se usarmos a a seguinte relação para o tempo temos:
Onde é o tempo que medimos e é o tempo próprio do píon e é a velocidade que queremos, então basta isolá-la e calcular seu valor.
A energia total de uma partícula é dada por:
Onde usando a informação dada pelo enunciado sobre a energia de repouso temos:
Então só teríamos que saber o valor de que é dado por:
Então basta usarmos o valor da velocidade encontrado no item anterior.
Passo 2
Vamos encontrar a velocidade então, temos que:
Elevando os dois lados ao quadrado temos:
Fazendo a substituição sugerida pelo enunciado, o termo da velocidade fica da seguinte forma:
Mas como é bem pequeno o termo ao quadrado é menor ainda então podemos descartar, assim:
Jogando isso na nossa expressão principal ali de cima, temos:
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
Então temos que:
Deixamos da forma que o enunciado pediu.
Passo 3
Agora vamos encontrar a energia, temos que:
Sabemos que , falta encontrarmos , então:
No item anterior vimos que:
Assim:
Então temos que:
Usando o valor de que encontramos no item anterior, temos:
Então nossa energia total fica da seguinte forma: