Um solenoide com 1,30   m de comprimento e 2,60   c m de diâmetro conduz uma corrente de 18,0   A . O campo magnético do interior do solenoide é 23,0   m T . Determine o comprimento do fio de que é feito o solenoide.

Passo 1

O campo magnético dentro do solenoide é calculado através da lei de Àmpere, traçando uma amperiana retangular como demonstrado na figura abaixo.

Escrevemos ∮ B → . d S → como a soma de quatro integrais, uma para cada segmento da amperiana:

∮ B → . d S → = ∮ a b B → . d S → + ∮ b c B → . d S → + ∮ c d B → . d S → + ∮ d a B → . d S →

A primeira integral do lado direita é B h , onde B é o módulo do campo uniforme B → no interior do solenoide e h é o comprimento (arbitrário) do segmento a b .

A segunda e a quarta integral são nulas porque, para os elementos d s desses segmentos, B → é perpendicular a d s ou é zero e, portanto, o produto escalar B → . d S → é zero.

A terceira integral, que envolve um segmento do lado de fora do solenoide também é nula porque B = 0 em todos os pontos do lado de fora do solenoide. Assim, o valor de ∮ B → . d S → para toda a amperiana é B h .

∮ B → . d S → = B h

Passo 2

A corrente total i e n v envolvida pela amperiana retangular não é igual à corrente i nas espiras do solenoide porque as espiras passam mais de uma vez pela amperiana. Seja n o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide, nesse caso, a amperiana envolve n h espiras e, portanto,

i e n v = i ( n h )

De acordo com a lei de Àmpere:

∮ B → . d S → = μ 0 i e n v

B h = μ o i n h

Lembrando que o número total de espiras se relaciona com o total de espira por

n = N L

Então vamos ter B = μ o i n = μ o i N L → N = B L μ 0 i

Substituindo os valores da questão

N = 23,0 × 10 - 3 ⋅ 1,3 4 π × 10 - 7 ⋅ 18,0 = 1321,87

N ≈ 1321

Passo 3

E como achar o comprimento do fio? Esse fio dá 1321 voltas no solenoide e cada volta tem um comprimento π d onde d é o diâmetro do solenoide, beleza? Então o comprimento l será

l = N π d = 1321 ⋅ π ⋅ 2,6 × 10 - 2

l = 107,9   m

Beleza? :D

Resposta

l = 107,9   m

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