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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 20.1 - Ex. 55

Um tanque de água quente de aço cilíndrico de forma cilíndrica tem um diâmetro interno de 0,550 m e uma altura interna de 1,20 m. O tanque é fechado com uma camada isolante de lã de vidro com 5,00 cm de espessura e condutividade térmica de 0,0350   W / ( m . K ) . O isolamento é coberto por uma fina camada de chapa de metal. O tanque de aço e a pele de chapa têm condutividades térmicas muito maiores que as da lã de vidro. Quanta energia elétrica deve ser fornecida a este tanque para manter a temperatura da água em 75,0°C quando a temperatura externa é de 1,0°C?

Passo 1

A energia elétrica que deve ser fornecida é igual à quantidade de calor perdido pelas superfícies que formam o cilindro, podemos então escrever a corrente térmica total como a soma da corrente térmica de cada superfície:

I t o t a l = I f u n d o   e   t a m p a + I l a t e r a l

Passo 2

A área que vamos utilizar para calcularmos a corrente térmica da tampa e do fundo é a área de uma circunferência com o diâmetro dado no enunciado. Então pela equação da corrente térmica:

I f u n d o   e   t a m p a = 2 k A ∆ T ∆ x = 2 4 π d 2 k ∆ T ∆ x

Onde d é o diâmetro da circunferência.

Substituindo os valores de cada grandeza:

I f u n d o   e   t a m p a = 1 2 π 0.550 m 2 0.0350 W m . K ( 75.0 ° C - 1.0 ° C ) 0.05 m

I f u n d o   e   t a m p a = 24.6 W

Passo 3

Para o caso da lateral, precisaremos integrar desde o raio interno do cilindro, até o raio externo, ou seja, ultrapassando a camada de lã de vidro:

I l a t e r a l = 2 π L k d T d r

Onde o termo 2 π L r é a área do cilindro.

Agora precisamos separar o termo d T e então resolvermos a equação diferencial:

d T = - I l a t e r a l d r 2 π L k

O sinal nesse caso será negativo pois a corrente de calor está indo no lado oposto ao gradiente de temperatura, devido à fonte externa elétrica.

Integrando dos dois lados:

∫ T 1 T 2 d T = - I l a t e r a l 2 π L k ∫ r 1 r 2 d r r

Ficamos com:

T 2 - T 1 = - I l a t e r a l 2 π L k ln ⁡ r 2 r 1

Isolando I l a t e r a l novamente:

I l a t e r a l = 2 π L k T 2 - T 1 ln ⁡ r 1 r 2

Substituindo valores numéricos:

I l a t e r a l = 2 π 1.20 m 0.0350 W m . K 75.0 ° C - 1.0 ° C ln ⁡ 0.325 m 0.275 m

I l a t e r a l = 117 W

Passo 4

Substituindo os resultados de cada corrente térmica na equação da corrente térmica total:

I t o t a l = 24.6 W + 117 W = 141.6 W

Resposta

I t o t a l = 141.6 W

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