Enunciado

Um cubo de cobre e um de alumínio, cada um com bordas de 3,00 cm de comprimento, estão dispostos como mostra a Figura 20-17. Encontre (a) a resistência térmica de cada cubo, (b) a resistência térmica da combinação de dois cubos, (c) a corrente térmica I e (d) a temperatura na interface dos dois cubos.

Passo 1

a) Olá, querido!

Vamos entender o que está acontecendo. Na extremidade esquerda do cubo de cobre, temos a temperatura de 100 ° C , e na extremidade direita do cubo de alumínio temos 20 ° C . Como esses cubos estão coladinhos, há transferência de calor através deles por condução.

O que ele quer é a resistência térmica R de cada cubo. Ou seja, a resistência ao calor que vai sair de uma face e chegar a outra face de um mesmo cubo. Ela é dada pela fórmulinha:

R = ∆ x k A

Onde Δ x é a distância entre os dois planos que tem temperaturas diferentes. No nosso caso, como queremos R   para cada cubo, vai ser a distância entre faces do mesmo cubo, ou seja, é o comprimento da aresta de cada cubo

Δ x = 3   c m = 0,03   m

k é uma constante que depende do material, a achamos pela tabela 20-4, para o cobre e para o alumínio. E por fim, A é a área transversal ao fluxo de calor, aí vai ser, no nosso caso, a área da face dos cubos, que vale:

A = 3   c m 2 = 3 × 10 - 2 m 2  

Vamos usar então a fórmulinha de R para cada cubo:

R c o b r e = ∆ x k c o b r e A = 3 × 10 - 2 m 401 W m . K ( 3 × 10 - 2 m ) 2 = 0.0831 K / W

E o do alumínio:

R a l u m i n i o = ∆ x k a l u m i n i o A = 3 × 10 - 2 m 237 W m . K ( 3 × 10 - 2 m ) 2 = 0.141 K / W

Passo 2

b) Na letra (b), precisamos encontrar a resistência da combinação dos dois cubos, o que significa que precisamos relacionar as duas resistências para obtermos uma resistência total.

Para isso precisamos classificar o posicionamento dos cubos em relação ao fluxo de calor.

Temos dois cubos coladinhos, e o calor vai sair da extremidade do cubo de cobre, vai passar pela interface entre os cubos e chegar a outra extremidade do cubo de alumínio. Ou seja, o calor passa por um cubo e depois pelo outro, isso caracteriza um posicionamento em série.

Como os cubos estão em série, as resistências devem ser somadas para achar a resistência equivalente aos dois juntos

R t o t a l = R c o b r e + R a l u m i n i o

Substituindo o que temos

R t o t a l = 0.0831 K / W + 0.141 K / W = 0.224 K / W

Passo 3

(c) Como calculamos o R   total, podemos tratar os dois cubos como se fossem apenas um e achar a corrente térmica que passa por eles. Temos que a corrente térmica I é dada por:

I = ∆ T R

Como temos:

R t o t a l = 0.224 K / W

Basta usarmos ele na equação da corrente térmica junto com a diferença de temperatura dada na figura, que vai ser:

Δ T = 100 ° C - 20 ° C

Substituindo os dados:

I = ∆ T R = 100 ° C - 20 ° C 0.224 K / W = 0.36 k W

Passo 4

d) Queremos a temperatura na interface. Vamos acha-la olhando só para um dos cubos. A gente sabe que a variação de temperatura só para o cubo de cobre é:

∆ T c o b r e = 100 ° - T i n t e r f a c e

Isso porque 100 ° C   é a maior temperatura que temos, certo? Mas a gente quer a temperatura na interface, então vamos isolar essa bonita:

T i n t e r f a c e = 100 ° C - ∆ T c o b r e

Podemos escrever a variação de temperatura ∆ T c o b r e em termos da condutividade térmica e da resistência, usando a expressão de I :

I = ∆ T R → Δ T = R I

∆ T c o b r e = R c o b r e I

Repara que I é a corrente térmica que passa pelos dois cubos e R é a resistência só do cobre.

Substituindo na equação anterior:

T i n t e r f a c e = 100 ° C - ∆ T c o b r e

T i n t e r f a c e = 100 ° C - R c o b r e I

E colocando os valores das grandezas que a gente tem dos outros itens:

T i n t e r f a c e = 100 ° C - ( 0.0831 K / W ) ( 0.36 k W )

T i n t e r f a c e = 100 ° C - ( 0.0831 K / W ) ( 360 W ) = 70 ° C

Resposta

a R c o b r e = 0.0831 K / W

R a l u m i n i o = 0.141 K / W

( b ) R t o t a l = 0.224 K / W

c I = 0.36 k W

d T i n t e r f a c e = 70 ° C

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