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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 39.1 - Ex. 13

Unobtainium (Un) é uma partícula instável que decai em partículas normalium (Nr) e standardium (St). (a) Um acelerador produz um feixe de Un que viaja para um detector localizado a 100 m de distância do acelerador. As partículas viajam com uma velocidade de v = 0,866c. Quanto tempo as partículas levam (no quadro do laboratório) para chegar ao detector? (b) No momento em que as partículas chegam ao detector, metade das partículas decaiu. Qual é a meia-vida de Un? (Nota: meia-vida como seria medida em um quadro em movimento com as partículas) (c) Um novo detector vai ser usado, que está localizado a 1000 m de distância do acelerador. Com que rapidez as partículas devem se mover se metade delas chegar ao novo detector?

Passo 1

(a) Opaa, fala aí!! Tranquilo?

Bom, o tempo necessário para que as partículas cheguem ao detector, medido no referencial do laboratório, é a razão entre a distância que elas devem percorrer e sua velocidade:

∆ t = ∆ x v = ∆ x 0,866 c

Dessa forma:

∆ t = ∆ x v = 100   m 0,866 ( 2,998 × 10 8   m / s )

∴

∆ t = 0,385   μ s

Passo 2

(b) A meia-vida das partículas será o tempo de viagem medido em um referencial que viaja com as partículas:

∆ t ' = ∆ t γ

∆ t ' = ∆ t 1 - v 2 c 2

Assim:

∆ t ' = ( 0,385   μ s ) 1 - ( 0,866 c ) 2 c 2

∴

∆ t ' = 0,193   μ s

Passo 3

(c) Por último. Podemos encontrar a velocidade na qual as partículas devem se mover se quiserem alcançar o detector mais distante, igualando sua meia-vida à razão entre a distância ao detector no quadro de referência da partícula e sua velocidade. Assim ó:

∆ t ' = ∆ x ' γ v = ∆ x ' 1 - v 2 c 2 v

Onde Δ x ' é a distância até o novo detector. Vamos reescrever essa equação:

∆ t ' ∆ x ' = 1 - v 2 c 2 v

v 1 - v 2 c 2 = ∆ x ' ∆ t '

Elevando os dois lados ao quadrado:

v 2 1 - v 2 c 2 = ∆ x ' ∆ t ' 2

Substituindo ∆ x ' ∆ t ' :

v 2 1 - v 2 c 2 = 1000   m 0,193   μ s 2 = 17,3 c 2

Dividindo os dois lados por c 2 :

v 2 c 2 1 - v 2 c 2 = 17,3 2

Agora, vamos fazer o mmc no denominador:

v 2 c 2 c 2 - v 2 c 2 = 17,3 2

v 2 c 2 - v 2 = 17,3 2

Inverter os dois lados:

c 2 - v 2 v 2 = 1 17,3 2

Separar o lado esquerdo em 2 frações:

c 2 v 2 - 1 = 1 17,3 2

c 2 v 2 = 1 17,3 2 + 1

c 2 v 2 = 17,3 2 + 1 17,3 2

c 2 v 2 = 17,3 2 + 1 17,3 2

E inverter tudo de novo:

v 2 c 2 = 17,3 2 17,3 2 + 1 = 0,9967

Agora, é só isolar v :

v 2 = 0,9967 c 2

∴

v = 0,998 c

Ufa! Acabou!!

Resposta

(a) 0,385   μ s

(b) 0,193   μ s

(c) 0,998 c

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