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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 39.1 - Ex. 10

Use a equação de expansão binomial

1 + x n = 1 + n x + n ( n - 1 ) 2 x 2 + … ≈ 1 + n x ,     x ≪ 1

para derivar os seguintes resultados para o caso em que v é muito menor que c, e use os resultados quando aplicável nos seguintes problemas:

(a) γ ≈ 1 + 1 2 v 2 c 2

(b) 1 γ ≈ 1 - 1 2 v 2 c 2

(c) γ - 1 ≈ 1 - 1 γ ≈ 1 2 v 2 c 2

Podemos usar a definição de γ e a expansão binomial de (1 + x) n para mostrar que cada uma dessas relações é válida desde v

Passo 1

Fala aíí!!

O que vamos fazer aqui é usar a definição de γ e a expansão binomial de 1 + x n para mostrar que cada uma dessas relações é válida desde v ≪ c .

Passo 2

(a) Bem, nós temos que:

γ = 1 1 - v 2 c 2 = 1 + - v 2 c 2 - 1 2

Então, já podemos usar a expansão binomial:

1 + - v 2 c 2 - 1 2 = 1 - 1 2 - v 2 c 2 + - 1 2 - 1 2 - 1 2 - v 2 c 2 2 …

Só que, pelo enunciado, se v ≪ c , então - v 2 c 2 ≪ 1 e aquela aproximação poderá ser usada, logo:

1 + - v 2 c 2 - 1 2 ≈ 1 + 1 2 v 2 c 2

γ ≈ 1 + 1 2 v 2 c 2

Próximo!

Passo 3

(b) O passo é basicamente o mesmo, mas, agora, faremos com 1 / γ :

1 γ = 1 - v 2 c 2 = 1 + - v 2 c 2 1 2

Então, já podemos usar a expansão binomial:

1 + - v 2 c 2 1 2 = 1 + 1 2 - v 2 c 2 + 1 2 1 2 - 1 2 - v 2 c 2 2 …

Só que, pelo enunciado, se v ≪ c , então - v 2 c 2 ≪ 1 e aquela aproximação poderá ser usada, logo:

1 + - v 2 c 2 1 2 ≈ 1 - 1 2 v 2 c 2

γ ≈ 1 - 1 2 v 2 c 2

Só mais um!

Passo 4

(c) Nós temos que:

γ = 1 1 - v 2 c 2 = 1 + - v 2 c 2 - 1 2

Subtraindo 1 de cada lado:

γ - 1 = 1 + - v 2 c 2 - 1 2 - 1

Então, já sabemos que a expansão binomial de γ é:

1 + - v 2 c 2 - 1 2 = 1 - 1 2 - v 2 c 2 + - 1 2 - 1 2 - 1 2 - v 2 c 2 2 …

Só que, pelo enunciado, se v ≪ c , então - v 2 c 2 ≪ 1 e aquela aproximação poderá ser usada, logo:

1 + - v 2 c 2 - 1 2 ≈ 1 + 1 2 v 2 c 2

Com o 1 subtraído, temos:

1 + - v 2 c 2 - 1 2 - 1 ≈ 1 + 1 2 v 2 c 2 - 1

γ - 1 ≈ 1 2 v 2 c 2

Foi!! Acabou!

Resposta

Explicação no passo a passo.

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