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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 19.1 - Ex. 85

Usando

∆ S = C V . ln ⁡ T 2 T 1 + n R . ln ⁡ V 2 V 1                         ( E q u a ç ã o   19 - 16 )

para a variação da entropia de um gás ideal, mostre explicitamente que a variação da entropia é zero para uma expansão adiabática quase estática do estado ( V 1 , T 1 ) para o estado ( V 2 , T 2 ).

Passo 1

Muito bem, esta não é tão complicada quanto aparenta. Se estamos trabalhando com um processo adiabático, e nos foi dado uma relação entre temperatura e volume, já sabemos o que podemos usar:

T 1 V 1 γ - 1 = T 2 V 2 γ - 1

Isolando a relação da fórmula, T 2 T 1 :

T 2 T 1 = V 1 V 2 γ - 1

Na fórmula da entropia:

∆ S = C V . ln ⁡ V 1 V 2 γ - 1 + n R . ln ⁡ V 2 V 1

Se isolarmos o ln:

∆ S = ln ⁡ V 2 V 1 C V . ln ⁡ V 1 V 2 γ - 1 ln ⁡ V 2 V 1 + n R

Para igualar o ln do denominador e numerador podemos usar um artifício bem simples:

∆ S = ln ⁡ V 2 V 1 C V . ln ⁡ V 1 V 2 γ - 1 ln ⁡ V 1 V 2 - 1 + n R

Legal ! Agora vamos fazer uso das propriedades do ln, não é?

∆ S = ln ⁡ V 2 V 1 C V . γ - 1 . ln ⁡ V 1 V 2 - 1   . ln ⁡ V 1 V 2 + n R = ln ⁡ V 2 V 1 - C V . γ - 1 + n R  

Importante aqui é lembrarem duas relações:

n R = C P - C V

γ = C P C V

Então:

∆ S = ln ⁡ V 2 V 1 - C V . C P C V - 1 + C P + C V   = ln ⁡ V 2 V 1 - C P + C V + C P - C V  

∆ S = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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