Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 16.1 - Ex. 62
Em um violoncelo, como a maioria dos outros instrumentos de corda, o posicionamento dos dedos pelo músico determina as frequências fundamentais das cordas. Suponha que uma das cordas de um violoncelo seja afinada para tocar um C médio (262 Hz) quando tocada em toda sua extensão. Em que fração essa corda deve ser encurtada para tocar uma nota que é o intervalo de um terço mais alto (a saber, um E, (330 Hz))? Que tal um quinto mais alto ou um G (392 Hz)?
Passo 1
Olá! Então, ele diz que há uma corda de violino que tem um comprimento que vamos chamar de e nesse comprimento, ela produz uma frequência de (o médio).
Aí ele pede a fração de quanto essa corda precisa ser encurtada para produzir a frequência de () e de ().
A gente precisa ver que a corda do violino é uma corda presa nas duas extremidades. E quando a gente encurta essa corda pressionando um ponto, a gente muda seu comprimento, então para cada nova frequência, precisamos de um novo comprimento.
A relação entre comprimento e frequência fundamental dessa corda fixa nas duas extremidades é dada por
Apareceu a velocidade aí. Então vamos lembrar da definição de velocidade na corda:
Bora substituir uma na outra:
Beleza, a gente já sabe a relação entre comprimento da corda e frequência. Vamos usar essa bonita para saber a fração da corda inicial que a gente precisa encurtar para produzir as frequências que ele pede.
Passo 2
Nosso comprimento produz a frequência do médio . Vamos escrever essa expressão para o caso do médio então
Percebe que e não tem índices, por que? Cara, é a densidade linear da corda, isso não muda quando a gente encurta a corda. E é a tensão na corda. Podemos assumir que isso não muda também quando há encurtamento.
Queremos comparar esse comprimento com o comprimento que produz , . Vamos escrever a relação entre comprimento e frequência para esse caso:
Como queremos uma fração de que precisa ser reduzida, podemos fazer a razão entre nossas duas expressões para chegar nessa fração, assim:
Essa é a fração da corda completa que vai produzir . Então precisamos encurtar o valor da fração complementar a essa, ou seja, precisamos tirar de comprimento da corda.
Passo 3
Vamos fazer a mesma coisa para , . Vamos escrever a relação entre e :
Aí a gente faz a razão entre isso e a expressão de :
Então precisamos encurtar para ser tocado um G.
Resposta
Precisamos encurtar para tocar um E, e para ser tocado um G.