Use integração para mostrar que o momento de inércia de uma casca esférica fina de raio R e massa m , em relação a um eixo que passa pelo seu centro, vale 2 m R 2 3 .

Passo 1

Aqui é só a gente usar a definição! O momento de inércia de uma esfera com relação a um diâmetro é:

I = 2 5 m R 2

A massa da esfera é:

m = ρ 4 3 π R 3

Substituindo:

I = 2 5 ρ 4 3 π R 3 R 2 = 8 15 ρ π R 5

Derivando:

d I = 8 3 ρ π R 4 d R

A massinha d m pode ser calculada derivando a massa:

d m = ρ 4 3 π 3 R 2 d R

d m = 4 π ρ R 2 d R

d R = d m 4 π ρ R 2

Passo 2

Juntando d m e d I para eliminar d R :

d I = 8 3 ρ π R 4 × d m 4 π ρ R 2

d I = 2 3 R 2 d m

Passo 3

Agora é só integrar!

∫ d I = ∫ 2 3 R 2 d m = 2 R 2 3 ∫ d m

I = 2 m R 2 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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