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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 15.1 - Ex. 37

Mostre que a função y = A s e n (k x) cos (omega t) satisfaz à equação de onda.

Passo 1

A estretégia será calcular o termo da esquerda depois o termo da direta e dividi-los, se acharmos que deu 1 // v^2 , então satisfaz!

(del^2 y)/(del x^2) = (1)/(v^2) * (del^2 y)/(del t^2)

Logo,

((del^2 y)/(del x^2))/((del^2 y)/(del t^2)) = (1)/(v^2)

Sacou?!

Passo 2

y = A s e n (k x) cos (omega t)

Primeiro vamos derivando parcialmente duas vezes em relação a x :

(del y)/(del x) = A k c o s (k x) c o s ( omega t )

Derivando de novo:

(del^2 y)/(del x^2) = A k^2 (- s e n (k x)) * cos (omega t) = - A k^2 s e n (k x) cos (omega t)

Derivando parcialmente duas vezes em relação a t :

(del y)/(del t) = A omega s e n (k x) ( - sen (omega t) ) = - A omega s e n (k x) sen (omega t)

Derivando novamente:

(del^2 y)/(del t^2) = - A omega^2 s e n (k x) cos (omega t)

OBS: não esquece da regra da cadeia

Passo 3

Agora vamos analisar a divisão!

((del^2 y)/(del x^2))/((del^2 y)/(del t^2)) = (- A k^2 s e n (k x) cos (omega t))/(- A omega^2 s e n (k x) cos (omega t)) = ((k)/(omega))^2

Mas o termo k na equação de onda é (2 pi)/(lambda) e o termo omega é 2 pi f . Logo,

((del^2 y)/(del x^2))/((del^2 y)/(del t^2)) = ((k)/(omega))^2 = (((2 pi)/(lambda))/(2 pi f))^2 = ((1)/(lambda f))^2 = (1)/(v^2)

Logo, a função satisfaz equação de onda

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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