A função trabalho de uma substância é a energia mínima que um fóton deve ceder aos elétrons para que eles se desprendam de sua superfície.

A energia do fóton, em função do seu comprimento de onda, é:

Vamos comparar a maior energia possível dentro do espectro visível com a função trabalho. Isso vai nos mostrar qual a maior função trabalho com a qual seria possível trabalhar.

Essa energia vai ser dada pelo menor comprimento de onda dentro do espectro.

Temos:

• para a luz visível

Assim, é impossível trabalhar com materiais cuja função trabalho seja maior que .

Os únicos materiais que não se enquadram nesse caso são o Bário e o Lítio.

Letra a)

A energia dos fótons é dada por:

Onde:

Que é menor que a energia necessária para ejetar os elétrons do sódio. Isso significa que não vamos observar o efeito fotoelétrico.

Letra b)

Quanto menor o comprimento de onda da luz, maior vai ser a energia correspondente aos fótons.

Isso significa que tem um comprimento de onda máximo tal que, abaixo dele, sempre teremos energia suficiente para ejetar os elétrons do sódio e, acima dele, nunca teremos energia suficiente.

Esse comprimento de onda é o comprimento de onda de corte. Ele vai ser tal que a energia do fóton vai corresponder exatamente com a função trabalho (que é a energia necessária para ejetar os elétrons do metal).

Rearrumando:

Os valores são:

Esse comprimento de onda corresponde ao intervalo da cor verde ( que vai de a )

Trata-se de um problema de efeito fotoelétrico, onde a energia cinética dos elétrons emitidos é dada por:

Onde é a função trabalho.

Onde:

;

;

Logo:

Onde:

;

;

;

Logo:

A função trabalho da prata vai ser igual à energia correspondente ao comprimento de onda de corte da prata.

Esse valor vai ser:

Onde:

A energia cinética máxima dos elétrons ejetados é dada por:

Sendo , teremos:

Letra a)

O elétron ejetado mais rápido é aquele com a energia cinética máxima possível.

A máxima energia cinética possível vai ser:

Temos:

Substituindo:

Passo 2

Letra b)

O elétron mais lento apenas se solta da superfície, e a energia extra que se tornaria energia cinética é dissipada.

Assim, sua energia cinética é .

Passo 3

Letra c)

O comprimento de onda de corte é o maior que ainda permite que os elétrons sejam ejetados da superfície.

Igualando a energia do fóton à função trabalho, considerando que nenhuma energia é dissipada:

Rearrumando:

Sendo que:

O potencial de corte é o potencial elétrico que para completamente o movimento dos elétrons. Isso significa que:

Assim, precisamos da energia cinética máxima dos elétrons ejetados, e o potencial de corte será:

Onde é a carga dos elétrons (carga elementar).

A energia cinética máxima é dada por:

Substituindo os valores:

Substituindo a energia cinética máxima no potencial de corte:

Pois a unidade de energia corresponde a:

Dividindo pela carga elementar:

A dependência da tensão de corte (ou potencial de corte) com o comprimento de onda é dado por:

Onde:

• é a constante de Planck
• é a velocidade da luz no vácuo
• é a carga de um elétron
• é a função trabalho do material

De todas essas, apenas a função trabalho depende do material. Ou seja, .

Se olharmos a equação, vemos que o coeficiente linear é dado por:

Ou seja, a equação é deslocada para baixo em um valor que depende da função trabalho. Quanto maior a função trabalho, mais deslocada para baixo é a curva e vice versa.

A curva do material está abaixo da curva do material que está abaixo da do material .

Logo:

Primeiramente, vamos confirmar que esses fótons tem energia suficiente para ejetar elétrons do césio.

Onde:

Que é maior que a função trabalho do césio. Sabendo que a luz consegue ejetar os elétrons do césio, agora precisamos fazer cálculos com a eficiência relativa da superfície.

Agora, vamos calcular quantos fótons por segundo incidem no metal.

A potência da fonte é de .

A energia de cada fóton é, pelo passo anterior, que precisamos passar para Joules. Sabendo que , temos .

A taxa de fótons será:

A cada temos elétron sendo ejetado. Fazendo uma regra de três podemos achar quantos elétrons são ejetados por segundo.

Ou seja, a cada segundo serão ejetados, em média, .

Para sabermos a corrente elétrica produzida, temos que calcular a carga que atravessa o sistema por unidade de tempo.

Em um segundo, atravessam o sistema, cada um carregando uma carga de . Logo, a corrente será:

No efeito fotoelétrico, para que o elétron atinja o anodo, a energia absorvida pelo fóton deve ser igual à soma da energia necessária para retirar o elétron da energia metálica , ou função trabalho com a energia cinética máxima dos elétrons emitidos. Sendo assim:

A energia cinética máxima está associada ao potencial de corte por:

Logo:

Vamos usar o gráfico para achar os coeficientes angular ( ) e linear ( ) da equação.

Para isso, vamos pegar dois pontos. Você pode escolher quaisquer dois pontos que estejam claros no gráfico. Os que eu escolhi foram:

O coeficiente angular é encontrado por:

Já para o coeficiente linear, podemos usar o valor do coeficiente angular encontrado em um dos pontos.

Porém, multiplicado pela carga elementar é a definição de .

Logo:

A resposta certa é a letra .

Obs: Pela própria imprecisão do gráfico, os valores não são exatamente os valores das constantes que conhecemos. Por exemplo, se calculássemos sem o gráfico, teríamos:

Onde .

Por isso, o valor mais “exato” da função trabalho, usando apenas um dos pontos do gráfico, seria .

Letra a)

A energia cinética máxima é dada por:

E como o potencial de corte é , onde é a carga elementar, teremos:

Ou seja, o potencial de corte é linear com o inverso do comprimento de onda .

Como o coeficiente angular é dado por constantes, nós podemos encontrar seu valor independente do potencial de corte e do comprimento de onda.

Sendo o gráfico uma reta, o coeficiente angular vai ser dado por:

Onde temos:

Rearrumando:

Agora, passando de volta para o comprimento de onda:

Letra b)

Para achar a função trabalho, temos que encontrar o coeficiente linear. Podemos apenas substituir em um dos pontos que já temos: