Método das forças – Solução dos sistemas de equações e incógnitas

Produzido por Pablo Ricardo
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Teoria

  1. Introdução
  2. Perceba que essa aula é uma continuação direta da aula anterior, em que apenas descobrimos como montar os nossos sistemas de incógnitas. Perceba que na aula anterior paramos exatamente no passo 6, e a partir dele que vamos continuar a solução do nosso problema.

  3. Passo 7
  4. É aí que que entra tudo que aprendemos na primeira parte desse assunto, que se divide em:

  • Deformações em estruturas isostáticas – Revisão de trabalhos virtuais
  • Deformação em estruturas isostáticas – Método das tabelas
  • E é claro a parte I de método das forças – sistema de equações e incógnitas

porque basicamente vamos usar os mesmos conceitos que aprendemos nessas 3 aulas. Lembrando que vamos partir direto do fim da ultima aula, ou seja, se já tivermos o sistema de incógnitas prontos, como devemos resolve-lo para obtermos os esforços? Vamos lá então.

Começando pelas deformações no sistema principal teremos que.

  • δ 10 e δ 20
  • Sabemos que podemos usar essa Fórmula:

    P   ¯ .   δ =   ∫   M   ¯ . M E J   d s +   ∫   N   ¯ . N E S   d s +   ∫ x   Q   ¯ . Q G S   d s +   ∫   T   ¯ . T G J t   d s

    Ou usar essa tabela (sempre vamos usar a tabela por ser mais prático)

    E sabemos que precisamos para isso de um sistema com a carga principal e com os momentos reais e um sistema com uma carga unitária que possamos determinar os deslocamentos em cada um dos pontos pedidos.

    No nosso caso precisamos da rotação em 2 e do deslocamento horizonta em 1. Ou seja, precisamos desenhar 3 sistemas de cargas.

  • um pro sistema real com as cargas reais
  • um pra uma carga unitária no ponto 1 para determinar o seu deslocamento ( e olha que legal, sempre que determinarmos um sistema com a carga unitária pré-estabelecida, determinamos exatamente no locais que temos os nossos hiperestáticos, ou seja, ao por a carga unitária no lugar de X1 eu acabo de definir o que chamamos na parte I de sistema 1)
  • um para uma carga unitária no ponto 2 para determinar seu deslocamento(e perceba que colocamos a carga na posição de X2 determinando assim o que chamávamos de sistema II)
  • E com isso conseguimos determinar as deformações δ 10 e δ 20 , e basta fazer isso para as outras deformações que no final conseguiremos determinar a nossa solução.

  • Passo 8
  • Vamos fazer isso na pratica para ficar mais fácil.

  • Diagrama de momentos do sistema real
  • Diagrama de momentos do sistema com a carga unitária em 1 (ou sistema 1)
  • Diagrama de momentos do sistema com a carga unitária em 2 (lembrar que é rotação no nosso exemplo, e esse será o nosso sistema 2)
  • Passo 9
  • Cálculo dos deslocamentos

  • δ 10 (como todas as barras da viga tem a mesma inercia podemos usar todos os valores com os valores inteiros, sem ver o quanto um é relativo ao outro). Dessa maneira precisamos combinar o diagrama real com o de carga unitária no ponto 1, assim teremos.
  • Usando a tabela em todas as barras, e lembrando que quando dois diagramas estão em sentidos invertidos eles ficam com valor negativo, teremos que:

    E J c δ 10 = - 1 3   L   .   M 0 .   M 1 - 1 2 L   . M 0 .   M 1 + 0 = - 1 3 .   10   .   100 .   10 - 1 2 . 10   . 100 .   10 =   - 8333,33

    Como no enunciado foi dado E J c = 1000

    δ 10 = - 8,333333

  • δ 20 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama real com o de carga unitária no ponto 2, assim teremos.
  • Usando a tabela em todas as barras, e lembrando que quando dois diagramas estão em sentidos invertidos eles ficam com valor negativo, teremos que:

    E J c δ 20 = - 1 2   L   .   M 0 .   M 2 - 1 3 L   . M 0 .   M 2 + 0 = - 1 2 .   10   .   100 .   1 - 1 3 . 10   . 100 .   1 =   833,33

    Como no enunciado foi dado E J c = 1000

    δ 20 = - 0,8333333

  • δ 11 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama 1 com o mesmo diagrama no ponto 1, assim teremos.
  • Usando a tabela em todas as barras, e lembrando que quando dois diagramas estão em sentidos invertidos eles ficam com valor negativo, teremos que:

    E J c δ 11 = 1 3 L   . M 1 .   M 1 + L   . M 1 .   M 1 + 1 3 L   . M 1 .   M 1 = 1 3 . 10   . 10 .   10 + 10   . 10 .   10 + 1 3 . 10   . 10 .   10 =   1666,66666667

    Como no enunciado foi dado E J c = 1000

    δ 11 = 1,6666667

  • δ 12 = δ 21 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama 1 com o diagrama no ponto 2, assim teremos.
  • Usando a tabela em todas as barras, e lembrando que quando dois diagramas estão em sentidos invertidos eles ficam com valor negativo, teremos que:

    E J c δ 12 = 1 2 L   . M 1 .   M 2 + 1 2 L   . M 1 .   M 2 = 1 2 . 10   . 10 .   1 + 1 2 . 10   . 10 .   1 =   100

    Como no enunciado foi dado E J c = 1000

    δ 12 = 0,1

  • δ 22 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama 2 com o mesmo no ponto 2, assim teremos.
  • Usando a tabela em todas as barras, e lembrando que quando dois diagramas estão em sentidos invertidos eles ficam com valor negativo, teremos que:

    E J c δ 22 = L   . M 2 .   M 2 + 1 3 L   . M 2 .   M 2 = 10   . 1 .   1 + 1 3 . 10   . 1 .   1 =   13,3333333

    Como no enunciado foi dado E J c = 1000

    δ 22 = 0,01333333

  • Passo 10
  • Tendo todas as deformações, podemos determinar a solução do nosso sistema.

    δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 = 0

    - 8,3333333 + 1,6666667 X 1 + 0,1 X 2 = 0 - 0,833333 + 0,1 X 1 + 0,0133333 X 2 = 0

    X 1 = 2,272727

    X 2 = 45,454545

  • Passo 11
  • Para determinação de todos os outros esforços sempre vamos usar a mesma regrinha.

    E = E 0 + E 1 X 1 + E 2 X 2

    Que significa basicamente

    E = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   h i p e r e s t á t i c o

    E 0 = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   p r i n c i p a l   i s o s t a t i c o

    E 1 = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   1   i s o s t á t i c o

    E 2 = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   2   i s o s t a t i c o

    Então por exemplo, se quisermos saber a reação de apoio vertical do apoio 1, faremos:

    R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1 + R v 12 X 2

    Perceba que o primeiro índice marca o local que ocorre e o segundo índice marca o sistema que ocorre, com isso podemos resumir que:

    R v 1 = r e a ç ã o   v e r t i c a l   d o   a p o i o   1   n o   s i s t e m a   h i p e r e s t á t i c o

    R v 10 = r e a ç ã o   v e r t i c a l   n o   a p o i o   1   n o   s i s t e m a   0

    R v 11 = r e a ç ã o   v e r t i c a l   n o   a p o i o   1   n o   s i s t e m a   1

    R v 12 = r e a ç ã o   v e r t i c a l   n o   a p o i o   1   n o   s i s t e m a   2

    R v 1 = R v 01 + R v 11 X 1 + R v 22 X 2 = 10 + 0   .   2,27 + 45,45   . - 1 10 = 5,455  

  • Resumo do cálculo de esforços pra cada esforço
  • Lembre-se que na fórmula:

    i = p o n t o   e m   q u e   q u e r e m o s   s a b e r   o   e s f o r ç o

    Por exemplo, se quisermos saber o esforço em A, basta usarmos i = A

  • Momentos fletores
  • M i = M i 0 + M i 1 X 1 + M i 2 X 2

  • Cortantes
  • V i = V i 0 + V i 1 X 1 + V i 2 X 2

  • Normais
  • N i = N i 0 + N i 1 X 1 + N i 2 X 2

  • Deslocamentos
  • δ i = δ i 0 + δ i 1 X 1 + δ i 2 X 2

    Mas pablo, e se tivesse mais um hiperestático? Ai você vai acrescentando na fórmula conforme aparecer o novo.

    i = p o n t o   e m   q u e   q u e r e m o s   s a b e r   o   e s f o r ç o

  • Momentos fletores
  • M i = M i 0 + M i 1 X 1 + M i 2 X 2 + M i 3 X 3

  • Cortantes
  • V i = V i 0 + V i 1 X 1 + V i 2 X 2 + V i 3 X 3

  • Normais
  • N i = N i 0 + N i 1 X 1 + N i 2 X 2 + N i 3 X 3

  • Deslocamentos

δ i = δ i 0 + δ i 1 X 1 + δ i 2 X 2 + δ i 3 X 3

  • Ultima observação
  • Por fim, vale ressaltar uma pequena diferença que existe para as treliças.

    Como sabemos, as treliças não possuem momentos fletores, certo? Então como iremos determinar os deslocamentos e hiperestáticos nas treliças?

    As combinações de diagrama continuam valendo, porém veja, como as treliças apenas terão esforços normais, a única combinação viável é a de diagramas constantes, logo, para treliças sempre vai valer:

    E A δ i j = N i ¯ N j L i

    Em que:

    N i ¯ = n o r m a l   e m   u m a   b a r r a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a

    N j = n o r m a l   e m   u m a   b a r r a   n o   s i s t e m a   r e a l

    L i = c o m p r i m e n t o   d a   b a r r a   c o m   o s   n o r m a i s   c o m b i n a d o s .

    Como é necessário ter a contribuição de todas as barras o sistema final fica sendo:

    ∑ E A δ 10 + ∑ E A δ 11 X 1 = 0

    Muita das vezes é mais fácil fazer uma tabela de tal maneira que se tenha:

    Tendo em fim a tabela, e assim calculando o valor de X 1 , para obtermos o valor real do normal na barra, temos que fazer:

    N = N 0 + N 1 X 1

    Em que:

    N 0 = n o r m a l   n a   b a r r a   d o   s i s t e m a   r e a l

    N 1 = n o r m a l   d a   b a r r a   d o   s i s t e m a   u n i t á r i o

    Assim podemos escrever mais uma coluna na nossa tabela, que será feita como:

    ufa, agora terminamos. Vamos acabar com essa ladainha e bora fazer exercício, porque quanto mais exercício fizermos, mais craques vamos ficar nesse assunto, então bora pros exercícios.