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Método das forças – Solução dos sistemas de equações e incógnitas

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Teoria

  1. Introdução

    2. Perceba que essa aula é uma continuação direta da aula anterior, em que apenas descobrimos como montar os nossos sistemas de incógnitas. Perceba que na aula anterior paramos exatamente no passo 6, e a partir dele que vamos continuar a solução do nosso problema.

  2. Passo 7

    3. É aí que que entra tudo que aprendemos na primeira parte desse assunto, que se divide em:

  • Deformações em estruturas isostáticas – Revisão de trabalhos virtuais
  • Deformação em estruturas isostáticas – Método das tabelas
  • E é claro a parte I de método das forças – sistema de equações e incógnitas

porque basicamente vamos usar os mesmos conceitos que aprendemos nessas 3 aulas. Lembrando que vamos partir direto do fim da ultima aula, ou seja, se já tivermos o sistema de incógnitas prontos, como devemos resolve-lo para obtermos os esforços? Vamos lá então.

Começando pelas deformações no sistema principal teremos que.

  • δ 10 e δ 20

    • Sabemos que podemos usar essa Fórmula:

    P   ¯ .   δ =   ∫   M   ¯ . M E J   d s +   ∫   N   ¯ . N E S   d s +   ∫ x   Q   ¯ . Q G S   d s +   ∫   T   ¯ . T G J t   d s

    Ou usar essa tabela (sempre vamos usar a tabela por ser mais prático)

    E sabemos que precisamos para isso de um sistema com a carga principal e com os momentos reais e um sistema com uma carga unitária que possamos determinar os deslocamentos em cada um dos pontos pedidos.

    No nosso caso precisamos da rotação em 2 e do deslocamento horizonta em 1. Ou seja, precisamos desenhar 3 sistemas de cargas.

  • um pro sistema real com as cargas reais

  • um pra uma carga unitária no ponto 1 para determinar o seu deslocamento ( e olha que legal, sempre que determinarmos um sistema com a carga unitária pré-estabelecida, determinamos exatamente no locais que temos os nossos hiperestáticos, ou seja, ao por a carga unitária no lugar de X1 eu acabo de definir o que chamamos na parte I de sistema 1)

  • um para uma carga unitária no ponto 2 para determinar seu deslocamento(e perceba que colocamos a carga na posição de X2 determinando assim o que chamávamos de sistema II)

    • E com isso conseguimos determinar as deformações δ 10 e δ 20 , e basta fazer isso para as outras deformações que no final conseguiremos determinar a nossa solução.

  • Passo 8

    • Vamos fazer isso na pratica para ficar mais fácil.

  • Diagrama de momentos do sistema real

  • Diagrama de momentos do sistema com a carga unitária em 1 (ou sistema 1)

  • Diagrama de momentos do sistema com a carga unitária em 2 (lembrar que é rotação no nosso exemplo, e esse será o nosso sistema 2)

  • Passo 9

    • Cálculo dos deslocamentos

  • δ 10 (como todas as barras da viga tem a mesma inercia podemos usar todos os valores com os valores inteiros, sem ver o quanto um é relativo ao outro). Dessa maneira precisamos combinar o diagrama real com o de carga unitária no ponto 1, assim teremos.

    • Usando a tabela em todas as barras, e lembrando que quando dois diagramas estão em sentidos invertidos eles ficam com valor negativo, teremos que:

    E J c δ 10 = - 1 3   L   .   M 0 .   M 1 - 1 2 L   . M 0 .   M 1 + 0 = - 1 3 .   10   .   100 .   10 - 1 2 . 10   . 100 .   10 =   - 8333,33

    Como no enunciado foi dado E J c = 1000

    δ 10 = - 8,333333

  • δ 20 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama real com o de carga unitária no ponto 2, assim teremos.

    • Usando a tabela em todas as barras, e lembrando que quando dois diagramas estão em sentidos invertidos eles ficam com valor negativo, teremos que:

    E J c δ 20 = - 1 2   L   .   M 0 .   M 2 - 1 3 L   . M 0 .   M 2 + 0 = - 1 2 .   10   .   100 .   1 - 1 3 . 10   . 100 .   1 =   833,33

    Como no enunciado foi dado E J c = 1000

    δ 20 = - 0,8333333

  • δ 11 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama 1 com o mesmo diagrama no ponto 1, assim teremos.

    • Usando a tabela em todas as barras, e lembrando que quando dois diagramas estão em sentidos invertidos eles ficam com valor negativo, teremos que:

    E J c δ 11 = 1 3 L   . M 1 .   M 1 + L   . M 1 .   M 1 + 1 3 L   . M 1 .   M 1 = 1 3 . 10   . 10 .   10 + 10   . 10 .   10 + 1 3 . 10   . 10 .   10 =   1666,66666667

    Como no enunciado foi dado E J c = 1000

    δ 11 = 1,6666667

  • δ 12 = δ 21 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama 1 com o diagrama no ponto 2, assim teremos.

    • Usando a tabela em todas as barras, e lembrando que quando dois diagramas estão em sentidos invertidos eles ficam com valor negativo, teremos que:

    E J c δ 12 = 1 2 L   . M 1 .   M 2 + 1 2 L   . M 1 .   M 2 = 1 2 . 10   . 10 .   1 + 1 2 . 10   . 10 .   1 =   100

    Como no enunciado foi dado E J c = 1000

    δ 12 = 0,1

  • δ 22 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama 2 com o mesmo no ponto 2, assim teremos.

    • Usando a tabela em todas as barras, e lembrando que quando dois diagramas estão em sentidos invertidos eles ficam com valor negativo, teremos que:

    E J c δ 22 = L   . M 2 .   M 2 + 1 3 L   . M 2 .   M 2 = 10   . 1 .   1 + 1 3 . 10   . 1 .   1 =   13,3333333

    Como no enunciado foi dado E J c = 1000

    δ 22 = 0,01333333

  • Passo 10

    • Tendo todas as deformações, podemos determinar a solução do nosso sistema.

    δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 = 0

    - 8,3333333 + 1,6666667 X 1 + 0,1 X 2 = 0 - 0,833333 + 0,1 X 1 + 0,0133333 X 2 = 0

    X 1 = 2,272727

    X 2 = 45,454545

  • Passo 11

    • Para determinação de todos os outros esforços sempre vamos usar a mesma regrinha.

    E = E 0 + E 1 X 1 + E 2 X 2

    Que significa basicamente

    E = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   h i p e r e s t á t i c o

    E 0 = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   p r i n c i p a l   i s o s t a t i c o

    E 1 = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   1   i s o s t á t i c o

    E 2 = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   2   i s o s t a t i c o

    Então por exemplo, se quisermos saber a reação de apoio vertical do apoio 1, faremos:

    R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1 + R v 12 X 2

    Perceba que o primeiro índice marca o local que ocorre e o segundo índice marca o sistema que ocorre, com isso podemos resumir que:

    R v 1 = r e a ç ã o   v e r t i c a l   d o   a p o i o   1   n o   s i s t e m a   h i p e r e s t á t i c o

    R v 10 = r e a ç ã o   v e r t i c a l   n o   a p o i o   1   n o   s i s t e m a   0

    R v 11 = r e a ç ã o   v e r t i c a l   n o   a p o i o   1   n o   s i s t e m a   1

    R v 12 = r e a ç ã o   v e r t i c a l   n o   a p o i o   1   n o   s i s t e m a   2

    R v 1 = R v 01 + R v 11 X 1 + R v 22 X 2 = 10 + 0   .   2,27 + 45,45   . - 1 10 = 5,455  

  • Resumo do cálculo de esforços pra cada esforço

    • Lembre-se que na fórmula:

    i = p o n t o   e m   q u e   q u e r e m o s   s a b e r   o   e s f o r ç o

    Por exemplo, se quisermos saber o esforço em A, basta usarmos i = A

  • Momentos fletores

    • M i = M i 0 + M i 1 X 1 + M i 2 X 2

  • Cortantes

    • V i = V i 0 + V i 1 X 1 + V i 2 X 2

  • Normais

    • N i = N i 0 + N i 1 X 1 + N i 2 X 2

  • Deslocamentos

    • δ i = δ i 0 + δ i 1 X 1 + δ i 2 X 2

    Mas pablo, e se tivesse mais um hiperestático? Ai você vai acrescentando na fórmula conforme aparecer o novo.

    i = p o n t o   e m   q u e   q u e r e m o s   s a b e r   o   e s f o r ç o

  • Momentos fletores

    • M i = M i 0 + M i 1 X 1 + M i 2 X 2 + M i 3 X 3

  • Cortantes

    • V i = V i 0 + V i 1 X 1 + V i 2 X 2 + V i 3 X 3

  • Normais

    • N i = N i 0 + N i 1 X 1 + N i 2 X 2 + N i 3 X 3

  • Deslocamentos

δ i = δ i 0 + δ i 1 X 1 + δ i 2 X 2 + δ i 3 X 3

  • Ultima observação

    • Por fim, vale ressaltar uma pequena diferença que existe para as treliças.

    Como sabemos, as treliças não possuem momentos fletores, certo? Então como iremos determinar os deslocamentos e hiperestáticos nas treliças?

    As combinações de diagrama continuam valendo, porém veja, como as treliças apenas terão esforços normais, a única combinação viável é a de diagramas constantes, logo, para treliças sempre vai valer:

    E A δ i j = N i ¯ N j L i

    Em que:

    N i ¯ = n o r m a l   e m   u m a   b a r r a   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   u n i t á r i a

    N j = n o r m a l   e m   u m a   b a r r a   n o   s i s t e m a   r e a l

    L i = c o m p r i m e n t o   d a   b a r r a   c o m   o s   n o r m a i s   c o m b i n a d o s .

    Como é necessário ter a contribuição de todas as barras o sistema final fica sendo:

    ∑ E A δ 10 + ∑ E A δ 11 X 1 = 0

    Muita das vezes é mais fácil fazer uma tabela de tal maneira que se tenha:

    Tendo em fim a tabela, e assim calculando o valor de X 1 , para obtermos o valor real do normal na barra, temos que fazer:

    N = N 0 + N 1 X 1

    Em que:

    N 0 = n o r m a l   n a   b a r r a   d o   s i s t e m a   r e a l

    N 1 = n o r m a l   d a   b a r r a   d o   s i s t e m a   u n i t á r i o

    Assim podemos escrever mais uma coluna na nossa tabela, que será feita como:

    ufa, agora terminamos. Vamos acabar com essa ladainha e bora fazer exercício, porque quanto mais exercício fizermos, mais craques vamos ficar nesse assunto, então bora pros exercícios.

    Exercícios Resolvidos

    Exercício Resolvido #1

    Origem do Exercício

    Determine o valor das reações de apoio do sistema hiperestático dado abaixo. Usar:

    E J c = 8   .   10 4   k N m 2

    Passo 1

    Precisamos lembrar que na primeira parte desse exercício já determinamos algumas coisas que vão ser bem importantes utilizarmos aqui. Vamos então recordar o que precisamos de mega importante da primeira parte desse exercício.

    • Sistemas estruturais

      • Sabemos que definimos alguns sistemas para essa estrutura, que é dado bem aqui em baixo.

    • Sistema algébrico

    Sabemos também que nosso sistema algébrico definido foi o seguinte:

    δ 10 + δ 11   .   X 1 = 0

    E com base nessas informações devemos calcular as nossas deformações.

    Passo 2

    Sabemos que as deformações sempre são calculadas com base na combinação de diagramas da nossa estrutura, e no nosso caso, antes de qualquer combinação precisamos determinar os diagramas de cada um dos sistemas, então vamos lá:

    • Diagrama de momentos do sistema real

    • Diagrama de momentos do sistema com a carga unitária em 1 (ou sistema 1)

      • Passo 3

      Agora, já com os diagramas em mãos precisamos determinar os deslocamentos, com isso precisamos ir combinando os nossos diagramas e ir usando a nossa tabelinha aqui de baixo:

    • δ 10 (como todas as barras da viga tem a mesma inercia podemos usar todos os valores com os valores inteiros, sem ver o quanto um é relativo ao outro). Dessa maneira precisamos combinar o diagrama real com o de carga unitária no ponto 1, assim teremos.

      • Usando a tabela em todas as barras, e lembrando que quando dois diagramas estão em sentidos invertidos eles ficam com valor negativo, teremos que:

      Obs: tomar cuidado em usar o comprimento de cada barra para cada uma das fórmulas.

      E J c δ 10 = - 1 3   L   .   M 0 .   M 1 - 1 2 L   . M 0 .   M 1 + 0 = - 1 3 .   1 2   .   600   .   1 2 - 1 2 . 9   . 6 00 .   1 2 =   - 61200

      Como no enunciado foi dado E J c = 8   .   10 4   k N m 2

      δ 10 = - 0 , 765

    • δ 11 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama 1 com o mesmo diagrama no ponto 1, assim teremos.

      • Usando a tabela em todas as barras, e lembrando que quando dois diagramas estão em sentidos invertidos eles ficam com valor negativo, teremos que:

      E J c δ 11 = 1 3 L   . M 1 .   M 1 + L   . M 1 .   M 1 + 1 3 L   . M 1 .   M 1 = 1 3 . 12   . 1 2 .   1 2 + 9   . 1 2 .   1 2 + 1 3 . 12   . 1 2 .   1 2 = 2448

      Como no enunciado foi dado E J c = 8   .   10 4   k N m 2

      δ 11 = 0,0 306

      Passo 4

      Já tendo calculado as deformações, basta substituirmos no nosso sistema que é dado por:

      δ 10 + δ 11   .   X 1 = 0

      Substituindo:

      - 0,765 + 0 , 0306   .   X 1 = 0

      X 1 = 25

      Passo 5

      Agora basta lembrarmos que para termos os esforços no sistema hiperestático devemos usar a relação:

      E = E 0 + E 1 X 1

      Que significa basicamente

      E = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   h i p e r e s t á t i c o

      E 0 = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   p r i n c i p a l   i s o s t a t i c o

      E 1 = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   1   i s o s t á t i c o

      Como queremos a reação de apoio nosso sistema será

      R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1

      E agrupando os sistemas vamos ter que

      Agora vamos as reações de apoio:

    • Reação horizontal no apoio esquerdo

      • R h 1 = R h 10 + R h 11 X 1

      R h 1 = - 50 + 1   .   25 = - 25

    • Reação vertical no apoio esquerdo

      • R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1

      R v 1 = - 66,67 + 0   .   25 = - 66,67

    • Reação vertical no apoio direito

      • R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1

      R v 1 = 146,67 + 0   .   25 = 146,67

    • Reação horizontal no apoio direito

      • R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1

      R v 1 = 0 + - 1 .   25 = - 25

      Resposta

    • Reação horizontal no apoio esquerdo

      • R h 1 = - 25

    • Reação vertical no apoio esquerdo

      • R v 1 = - 66,67

    • Reação vertical no apoio direito

      • R v 1 = 146,67

    • Reação horizontal no apoio direito

    R v 1 = - 25

    Resposta

    Ei, a resposta está no passo a passo :)

    Exercício Resolvido #2

    FURB, Lista de exercícios de hiperestática, Teoria das Estruturas II, exercício 3 (Adaptada)

    Determine o valor das reações de cada apoio do sistema hiperestático dado abaixo.

    Passo 1

    Faaala, galerinha!!! Agora vamos ver como achar as reações de uma viga hiperestática utilizando o método das forças!!!

    Para a utilização deste método é muito importante sabermos construir o diagrama de momento fletor e calcular o deslocamento δ de um ponto numa estrutura isostática.

    Então vamos fazer o seguinte:

    1. Transformar essa estrutura numa estrutura isostática.
    2. Montar os diagramas de momento fletor.
    3. Calcular os deslocamentos.
    4. Achar os hiperestáticos.
    5. Achar as reações

    Passo 2

    Para transformar essa estrutura numa estrutura isostática nós vamos retirar o apoio de primeiro gênero e substituí-lo por uma força X 1 que é o chamado hiperestático. Vai ficar assim ó

    Pessoal, a gente só tem que lembrar de colocar em dois sistemas separados, dessa forma vamos ter.

    Onde o deslocamento é dado pelo deslocamento do sistema um em relação ao sistema zero mais o deslocamento do sistema 1 em relação a ele mesmo vezes o hiperestático X 1 .

    Pessoal, como a viga hiperestática não mexe na realidade podemos afirmar que a combinação desses deslocamentos é nula:

    δ 10 + δ 11 . X 1 = 0

    Então realizamos a nossa primeira etapa do processo com sucesso!!!

    Passo 3

    Agora nós vamos montar os diagramas de momento fletor para cada sistema. Pessoal, não vou perder muito tempo aqui não porque esse não é o foco deste assunto, belezinha? É só importante lembrar que para o cálculo do momento fletor vamos utilizar uma força unitária no lugar de X 1 .

    Passo 4

    Agora vamos combinar esses diagramas de forma a obter os deslocamentos. Quando eu falo combinar a gente tem que se ligar na seguinte expressão e da tabela

    δ 10 + δ 11 . X 1 = 0

    Desta forma o deslocamento δ 10 pode ser calculado como a combinação de uma parábola com o triângulo (pessoal, esse triângulo não tem na tabela mas pode ser obtido pelo trapézio com M B = 0 ). Vale lembrar que eles têm sentidos opostos então colocamos o sinal negativo.

    E J . δ 10 = - 1 4 L ' . M A . M A -

    E J . δ 10 = - 1 4 . 4.120.4

    δ 10 = - 480 E J

    Enquanto δ 11 vai ser calculado pelo triângulo com ele mesmo:

    E J . δ 11 = 1 3 L ' . M A . M A -

    E J . δ 11 = 1 3 . 4.4 . 4

    δ 11 = 64 3 E J

    Passo 5

    Com esses dois deslocamentos vamos poder achar o hiperestático X 1 :

    δ 10 + δ 11 . X 1 = 0

    - 480 E J + 64 3 E J . X 1 = 0

    X 1 = 22,5

    Passo 6

    Agora para achar as reações a gente vai considerar a reação de cada sistema separado:

    E vamos achar a reação verdadeira R v

    R v = R v 0 + R v 1 . X 1

    R v = 60 - 1.22,5

    R v = 37,5   k N

    Passo 7

    Para achar as outras reações é só voltar lá no começo e substituir essa reação que acabamos de encontrar e utilizar as equações da estática:

    R v = 37,5   k N

    R ' v = 22,5   k N

    R H = 0

    M = 30   k N . m

    Resposta

    R v = 37,5   k N

    R ' v = 22,5   k N

    R H = 0

    M = 30   k N . m

    Exercício Resolvido #3

    Origem do Exercício

    Determine o valor das reações de apoio do sistema hiperestático dado abaixo. Usar:

    E J c = 2   .   10 4   k N m 2

    Passo 1

    Precisamos lembrar que na primeira parte desse exercício já determinamos algumas coisas que vão ser bem importantes utilizarmos aqui. Vamos então recordar o que precisamos de mega importante da primeira parte desse exercício.

    • Sistemas estruturais

      • Sabemos que definimos alguns sistemas para essa estrutura, que é dado bem aqui em baixo.

    • Sistema algébrico

    Sabemos também que nosso sistema algébrico definido foi o seguinte:

    δ 10 + δ 11   .   X 1 + δ 12   .   X 2 = 0 δ 20 + δ 21   .   X 1 + δ 22   .   X 2 = 0

    E com base nessas informações devemos calcular as nossas deformações.

    Passo 2

    Sabemos que as deformações sempre são calculadas com base na combinação de diagramas da nossa estrutura, e no nosso caso, antes de qualquer combinação precisamos determinar os diagramas de cada um dos sistemas, então vamos lá:

    • Diagrama de momentos do sistema real

    • Diagrama de momentos do sistema com a carga unitária em 1 (ou sistema 1)

      • Diagrama de momentos do sistema com a carga unitária em 2 (ou sistema 2)

      Passo 3

      Agora, já com os diagramas em mãos precisamos determinar os deslocamentos, com isso precisamos ir combinando os nossos diagramas e ir usando a nossa tabelinha aqui de baixo:

    • δ 10 (como todas as barras da viga tem a mesma inercia podemos usar todos os valores com os valores inteiros, sem ver o quanto um é relativo ao outro). Dessa maneira precisamos combinar o diagrama real com o de carga unitária no ponto 1, assim teremos.

      • perceba que temos 4 regiões a serem combinadas, então vamos fazer uma por uma:

    • Região 1

      • E J c δ 10 = - 1 3   L   .   M 0 .   M 1 = - 1 3   .   2   .   1280   .   1,2 =   - 1024

    • Região 2

      • E J c δ 10 = - 1 6 L ' M ¯ A 2 M A + M B + M ¯ B 2 M B + M A = - 1 6   .     2   . 1,2   .   2   .   1280 + 1560 + 2,4   .   2   . 1560 + 1280

      E J c δ 10 = - 5168

    • Região 3

      • E J c δ 10 = - 1 6 L ' [ M ¯ A 2 M B + M A + M ¯ B 2 M A + M B ] = - 1 6   .     3   . 1,2   .   2   .   1980 + 1560 + 2,4   .   2   . 1560 + 1980

      E J c δ 10 = - 9432

    • Região 4

      • E J c δ 10 = - 1 3   L   .   M 0 .   M 1 = - 1 3   .   3   .   1980   .   1,2 =   - 2376

    • Somando tudo

      • E J c δ 10 = - 1024 - 5168 - 9432 - 2376 = - 18000

      Como no enunciado temos que E J c = 2   .   10 4   k N m 2

      δ 10 = - 0,9

    • δ 20 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama 0 com o mesmo diagrama no ponto 2, assim teremos.

      • Vemos que aqui temos duas regiões triangulares, basta que apenas combinemos cada um deles de maneira correta.

      E J c δ 2 0 = 0

      Como no enunciado foi dado E J c = 2   .   10 4   k N m 2

      δ 2 0 = 0

    • δ 11 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama 1 com o mesmo diagrama no ponto 1, assim teremos.

      • Vemos que aqui temos duas regiões triangulares, basta que apenas combinemos cada um deles de maneira correta.

      E J c δ 11 = 1 3 L   . M 1 .   M 1 + 1 3 L   . M 1 .   M 1 = 1 3 . 4   .   2,4   .     2,4 +   1 3 . 6   .   2,4   .     2,4 = 19,2

      Como no enunciado foi dado E J c = 2   .   10 4   k N m 2

      δ 11 = 0,00096

    • δ 22 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama 2 com o mesmo diagrama no ponto 2, assim teremos.

      • Vemos que aqui temos duas regiões triangulares, basta que apenas combinemos cada um deles de maneira correta.

      E J c δ 22 = 0

      Como no enunciado foi dado E J c = 2   .   10 4   k N m 2

      δ 22 = 0

    • δ 12 = δ 21 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama 1 com o mesmo diagrama no ponto 2, e vice versa, assim teremos.

      • Vemos que aqui temos duas regiões triangulares, basta que apenas combinemos cada um deles de maneira correta.

      E J c δ 12 = E J c δ 21 = 0

      Como no enunciado foi dado E J c = 2   .   10 4   k N m 2

      δ 12 = δ 21 = 0

      Passo 4

      Já tendo calculado as deformações, basta substituirmos no nosso sistema que é dado por:

      δ 10 + δ 11   .   X 1 + δ 12   .   X 2 = 0 δ 20 + δ 21   .   X 1 + δ 22   .   X 2 = 0

      Substituindo:

      - 0,9 + 0,00096   .   X 1 + 0   .   X 2 = 0 0 + 0   .   X 1 + 0   .   X 2 = 0

      X 1 = 937,5   k N

      X 2 = 0   k N

      Passo 5

      Agora basta lembrarmos que para termos os esforços no sistema hiperestático devemos usar a relação:

      E = E 0 + E 1 X 1 + E 2 X 2

      Que significa basicamente

      E = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   h i p e r e s t á t i c o

      E 0 = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   p r i n c i p a l   i s o s t a t i c o

      E 1 = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   1   i s o s t á t i c o

      E 2 = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   2   i s o s t á t i c o

      Como queremos a reação de apoio nosso sistema será

      R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1 + R v 22 X 2

      E agrupando os sistemas vamos ter que

      Agora vamos as reações de apoio:

    • Reação vertical no apoio mais esquerdo

      • R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1 + R v 22 X 2

      R v 1 = 640 - 0,6   .     937,5 + 0   .   0 = 77,5   k N

    • Reação vertical no apoio mais a direita

      • R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1 + R v 22 X 2

      R v 1 = 660 - 0,4   .     937,5 + 0   .   0 = 285   k N

      E como não a forças horizontais não temos reações horizontais.

      Resposta

    • Reação vertical no apoio mais esquerdo

      • R v 1 = 77,5   k N

    • Reação vertical no apoio mais direito

      • R v 1 = 285   k N

    • Reação vertical no apoio central

      • R v 1 = 937,5   k N

    • Reação horizontal

    R h 1 = 0   k N

    Resposta

    Ei, a resposta está no passo a passo :)

    Exercício Resolvido #4

    Elaboração própria

    Determine o valor das reações de cada apoio do sistema hiperestático dado abaixo.

    Passo 1

    Faaala, galerinha!!! Agora vamos ver como achar as reações de uma viga hiperestática utilizando o método das forças!!!

    Para a utilização deste método é muito importante sabermos construir o diagrama de momento fletor e calcular o deslocamento δ de um ponto numa estrutura isostática.

    Então vamos fazer o seguinte:

    1. Transformar essa estrutura numa estrutura isostática.
    2. Montar os diagramas de momento fletor.
    3. Calcular os deslocamentos.
    4. Achar os hiperestáticos.
    5. Achar as reações

    Passo 2

    Então vamos transformar nossa viga hiperestática numa viga isostática. Vamos fazer isso transformando o engaste em um apoio de segundo gênero e adicionando um momento; e também transformando o apoio de segundo gênero em apoio do primeiro gênero e adicionando uma força horizontal. Essa força e o momento são os nossos hiperestáticos.

    Agora a gente tem que lembrar de separar em sistemas distintos, nesse caso serão três sistemas:

    Que nos fornecerão as seguintes equações de deslocamentos.

    δ 10 + δ 11 . X 1 + δ 12 . X 2 = 0

    δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 = 0

    Passo 3

    Agora vamos montar os diagramas de momento fletor para cara sistema lembrando que nosso hiperestático será considerado como uma força ou momento unitário.

    Passo 4

    Agora vamos combinar esses diagramas de forma a obter os deslocamentos. Quando eu falo combinar a gente tem que se ligar na seguinte expressão e da tabela

    δ 10 + δ 11 . X 1 + δ 12 . X 2 = 0

    δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 = 0

    A primeira coisa que a gente pode verificar é que no sistema 1 não há momento logo podemos eliminar todos os deslocamentos que tem 1 como índice, obtendo:

    δ 20 + δ 22 . X 2 = 0

    Desta forma o deslocamento δ 20 pode ser calculado dividindo a viga ao meio e calculando a combinação de um triângulo + trapézio e a combinação de dois triângulos. Lembrando que eles tem sentidos opostos logo temos de adicionar um sinal negativo.

    E J δ 20 = 1 6 L ' M A + 2 M B M B - + 1 3 L ' M B M B -

    E J δ 20 = - 1 6 . 3 . 1 + 0,5 . 7,5 + 1 3 . 3.7,5.0,5 = - 5,625 + 3,75

    δ 20 = - 3,75 E J

    E para δ 22 vamos ter a combinação de dois triângulos de mesmo sentido:

    E J δ 22 = 1 3 L ' M B M B -

    δ 22 = 1 3 . 6.7,5.1 = 15 E J

    Passo 5

    Com esses dois deslocamentos vamos poder achar o hiperestático X 2 :

    δ 20 + δ 22 . X 2 = 0

    - 3,75 E J + 15 E J . X 2 = 0

    X 2 = 0,25

    E o hiperestático X 1 ? Pessoal, como o nosso momento fletor deu nulo e não dá pra calcular esse termo então a gente considere ele como sendo zero mesmo beleza?

    X 1 = 0

    Passo 6

    Agora para achar as reações a gente vai considerar a reação de cada sistema separado:

    Como o hiperestático X 1 é nulo podemos ignorar o sistema 1 e partir para o sistema 2:

    Agora vamos finalmente achar a reação verdadeira:

    Para o apoio da esquerda:

    R v = R v 0 + R v 2 . X 2

    R v = - 2,5 - 1 6   .   0,25 = - 2,54   k N

    Para o apoio da direita:

    R v = R v 0 + R v 2 . X 2

    R v = 2,5 + 1,6.0,25 = 2,54   k N

    Passo 7

    Para achar as outras reações é só voltar lá no começo e substituir essa reação que acabamos de encontrar e utilizar as equações da estática:

    R v = - 2,54   k N

    R ' v = 2,54   k N

    R H = 0

    R H ' = 0

    M = 0,24   k N . m

    Resposta

    R v = - 2,54   k N

    R ' v = 2,54   k N

    R H = 0

    R H ' = 0

    M = 0,24   k N . m

    Exercício Resolvido #5

    Origem do Exercício

    Determine o valor das reações de apoio do sistema hiperestático dado abaixo. Usar:

    E J c = 8   .   10 4   k N m 2

    Passo 1

    Precisamos lembrar que na primeira parte desse exercício já determinamos algumas coisas que vão ser bem importantes utilizarmos aqui. Vamos então recordar o que precisamos de mega importante da primeira parte desse exercício.

    • Sistemas estruturais

      • Sabemos que definimos alguns sistemas para essa estrutura, que é dado bem aqui em baixo.

    • Sistema algébrico

    Sabemos também que nosso sistema algébrico definido foi o seguinte:

    δ 10 + δ 11   .   X 1 = 0

    E com base nessas informações devemos calcular as nossas deformações.

    Passo 2

    Sabemos que as deformações sempre são calculadas com base na combinação de diagramas da nossa estrutura, e no nosso caso, antes de qualquer combinação precisamos determinar os diagramas de cada um dos sistemas, então vamos lá:

    • Diagrama de momentos do sistema real

    • Diagrama de momentos do sistema com a carga unitária em 1 (ou sistema 1)

      • Passo 3

      Agora, já com os diagramas em mãos precisamos determinar os deslocamentos, com isso precisamos ir combinando os nossos diagramas e ir usando a nossa tabelinha aqui de baixo:

    • δ 10 (como todas as barras da viga tem a mesma inercia podemos usar todos os valores com os valores inteiros, sem ver o quanto um é relativo ao outro). Dessa maneira precisamos combinar o diagrama real com o de carga unitária no ponto 1, assim teremos.

      • Perceba que deveremos combinar dois trechos do nosso diagrama, primeiro a primeira metade dos diagramas

      Perceba que estamos combinando um trapézio com um triângulo, e perceba que o nosso maior lado do triangulo está relacionado com o menor lado do trapézio, então devemos tomar cuidado na escolha da combinação. E como os diagramas são invertidos devemos tomar cuidado com os sinais. Lembrar que:

      M 0 = m o m e n t o   n o   s i s t e m a   z e r o  

      M 1 = m e n o r   m o m e n t o   n o   s i s t e m a   1  

      M 2 = m a i o r   m o m e n t o   n o   s i s t e m a   1

      E J c δ 10 = - 1 6   L   .   M 0 .   ( 2 M 1 + M 2 ) = - 1 6   .   3   .   150 .   ( 2   .   0,5 + 1 ) =   - 150

      O segundo trecho é dado por dois triângulos com o maior lado do mesmo lado, mas com sentidos opostos, oque vai tornar essa parcela negativa também.

      Que combinando teremos que:

      E J c δ 10 = - 1 3   L   .   M 0 .   M 1 = - 1 3   .   3   .   150 .   0,5 =   - 75

      Como no enunciado foi dado E J c = 8   .   10 4   k N m 2

      E J c δ 10 = - 150   - 75 = - 225

      δ 10 = - 0,0028125

    • δ 11 Dessa maneira precisamos combinar o diagrama 1 com o mesmo diagrama no ponto 1, assim teremos.

      • Usando a tabela em todas as barras, e lembrando que quando dois diagramas estão em sentidos invertidos eles ficam com valor negativo, teremos que:

      E J c δ 11 = 1 3 L   . M 1 .   M 1 = 1 3 . 6   . 1 .   1 = 2

      Como no enunciado foi dado E J c = 8   .   10 4   k N m 2

      δ 11 = 0,000025

      Passo 4

      Já tendo calculado as deformações, basta substituirmos no nosso sistema que é dado por:

      δ 10 + δ 11   .   X 1 = 0

      Substituindo:

      - 0,0028125 + 0,000025   .   X 1 = 0

      X 1 = 112,5   k N m

      Passo 5

      Agora basta lembrarmos que para termos os esforços no sistema hiperestático devemos usar a relação:

      E = E 0 + E 1 X 1

      Que significa basicamente

      E = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   h i p e r e s t á t i c o

      E 0 = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   p r i n c i p a l   i s o s t a t i c o

      E 1 = e s f o r ç o   n o   s i s t e m a   1   i s o s t á t i c o

      Como queremos a reação de apoio nosso sistema será

      R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1

      E agrupando os sistemas vamos ter que

      Agora vamos as reações de apoio:

    • Reação vertical no apoio esquerdo

      • R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1

      R v 1 = 50 + 1 6   .   112,5 = 68,75   k N

    • Reação vertical no apoio direito

      • R v 1 = R v 10 + R v 11 X 1

      R v 1 = 50 - 1 6   .   112,5 = 31,25   k N

      Resposta

    • Reação vertical no apoio esquerdo

      • R v 1 = 68,75   k N

    • Reação vertical no apoio direito

      • R v 1 = 31,25   k N

    • Reação de momento no apoio esquerdo

    R v 1 = 112,5   k N m

    Resposta

    Ei, a resposta está no passo a passo :)

    Exercício Resolvido #6

    Elaboração própria

    Determine o valor das reações de cada apoio do sistema hiperestático dado abaixo.

    Passo 1

    Faaala, galerinha!!! Agora vamos ver como achar as reações de uma viga hiperestática utilizando o método das forças!!!

    Para a utilização deste método é muito importante sabermos construir o diagrama de momento fletor e calcular o deslocamento δ de um ponto numa estrutura isostática.

    Então vamos fazer o seguinte:

    1. Transformar essa estrutura numa estrutura isostática.
    2. Montar os diagramas de momento fletor.
    3. Calcular os deslocamentos.
    4. Achar os hiperestáticos.
    5. Achar as reações

    Passo 2

    Para obter uma estrutura isostática vamos fazer o seguinte: retirar o engaste e transformá-lo num apoio de primeiro gênero. Lembre-se que como reduzimos o nosso apoio em dois graus de estabilidade temos de adicionar os respectivos graus como reações. Sendo assim vamos ter o seguinte:

    Onde os hiperestáticos são X 1 e X 2 . Colocando em sistemas separados:

    Que fornecerão as seguintes equações:

    δ 10 + δ 11 . X 1 + δ 12 . X 2 = 0

    δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 = 0

    Passo 3

    Agora vamos calcular os diagramas dos momentos fletores. Galerinha marota, como o foco da aula não é ficar calculando diagrama eu vou dar de lambuja aqui para vocês mas fiquem espertos que seu prof não vai ser tão bonzinho assim não hein!

    Passo 4

    Agora vamos combinar esses diagramas de forma a obter os deslocamentos. Quando eu falo combinar a gente tem que se ligar na seguinte expressão e da tabela

    δ 10 + δ 11 . X 1 + δ 12 . X 2 = 0

    δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 = 0

    Agora vamos para as combinações afim de calcular os deslocamentos. Começando por δ 10 que é a composição entre o sistema 1 e o sistema 0. Para δ 10 vamos ter duas combinações: uma entre dois triângulos e outra entre um retângulo e um triângulo:

    E J δ 10 = - 1 3 L ' M M - - 1 2 L ' . M . M -

    E J δ 10 = - 1 3 12 1800 12 - 1 2 10 . 1800 . ( 12 )

    δ 10 = - 194400 E J

    Para δ 11 vamos ter:

    E J δ 11 = 1 3 L ' M M - + L ' M M - + 1 3 L ' M M -

    E J δ 11 = 1 3 12 12 12 + 10 12 12 + 1 3 ( 12 ) ( 12 ) ( 12 )

    δ 11 = 2592 E J

    Para δ 12 vamos ter:

    E J δ 12 = 1 2 L ' . M . M - + 1 2 L ' . M . M -

    E J δ 12 = 1 2 ( 10 ) . ( 12 ) . ( 1 ) + 1 2 ( 12 ) . ( 1 ) . ( 12 )

    δ 12 = 132 E J

    Para δ 20 vamos ter:

    E J δ 20 = - 1 6 L ' . M . M -

    E J δ 20 = - 1 6 . ( 10 ) ( 1800 ) ( 1 )

    δ 20 = - 3 000 E J

    Para δ 21

    δ 21 = δ 12

    Rá rá!! Gostou né? Quando eles são opostos assim eles são iguais!

    δ 22 = 1 3 L ' M M - + L ' M M -

    E J δ 22 = 1 3 ( 10 ) ( 1 ) ( 1 ) + ( 12 ) ( 1 ) ( 1 )

    δ 22 = 15,33 E J

    Passo 5

    Agora a gente resolve a equação para achar X 1 e X 2

    δ 10 + δ 11 . X 1 + δ 12 . X 2 = 0

    δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 = 0

    Substituindo

    - 194400 E J + 2592 E J . X 1 + 132 E J . X 2 = 0

    - 3 000 E J + 132 E J . X 1 + 15,33 E J . X 2 = 0

    Nós podemos simplificar tudo por E J

    - 194400 + 2592 . X 1 + 132 . X 2 = 0

    - 3000 + 132 . X 1 + 15,33 . X 2 = 0

    X 1 = 115,8

    X 2 = - 801,6

    Passo 6

    Agora para achar as reações a gente vai considerar a reação de cada sistema separado:

    Agora podemos achar a reação verdadeira. Para o apoio da esquerda vamos ter:

    R v = R v 0 + R v 1 . X 1 + R v 2 . X 2

    R v = - 180 + 0 + 0,1   . -   801.6 = - 260,16   k N

    Para o apoio da direita vamos ter o contrário:

    R v = 260,16   k N

    A reação horizontal no apoio da esquerda é:

    R H = R H 0 + R H 1 . X 1 + R H 2 . X 2

    R H = - 150 + 1   .   115,8 = - 34,2   k N

    Já no apoio da esquerda é

    R H = - 150 - 34,2 = - 184,2   k N

    E para achar o momento no apoio da direita, que é engastado, vamos olhar os momentos lá nos diagramas dos 3 sistemas:

    M = M 0 + M 1 X 1 + M 2 X 2

    M = 0 + 0 + 1   .   - 801,6 = - 801,6   k N m

    Resposta

    No apoio da esquerda:

    R v = - 260,16   k N

    R H = - 34,2   k N

    No apoio da direita:

    R v = 260,16   k N

    R H = - 184,2   k N

    M = - 801,6   k N m