Método das forças – O sistema de equações e incógnitas

Produzido por Pablo Ricardo
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Teoria

Introdução

O método das forças será usado para determinação do diagrama de momentos, reações de apoio, diagrama de cortantes e normais, tudo isso, em estruturas hiperestáticas. Como vimos até aqui, descobrimos como calcular tudo isso em estruturas isostáticas. Mas agora com esse esquema vamos aprender a fazer isso nas estruturas hiperestáticas.

Conceito

O conceito em si não é muito complicado, mas é necessário ter muito cuidado na hora de executá-lo. Para ficar bem simples, vamos resolver um exemplo numérico para que assim possamos entender bem como podemos resolver o nosso problema.

Suponha que você tenha que definir as seguintes coisas com relação a essa estrutura:

  • Graus de hiperestaticidade
  • Reações de apoio
  • Diagrama de momentos fletores

Agora vamos ver no nosso passo a passo como usar o método das forças.

Passo 1

Você já deve imaginar que resolver problemas isostáticos é mais fácil do que hiperestáticos, não é mesmo? O nosso conceito hoje é transformar uma estrutura hiperestática em uma estrutura isostática. Para eu saber o que a minha estrutura hiperestática precisa para se tornar isostática, eu preciso saber qual o grau de hiperestaticidade da nossa estrutura. Então vamos lá:

  • Hiperestáticos totais pelo macete
  • n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = n º   i n c o g n i t a s   e x t e r n a s + n º   i n c o g n i t a s   i n t e r n a s - n º   e q u a ç e s  

    • Sabemos que temos 1 apoio do terceiro gênero e 1 do segundo gênero, totalizando 5 incógnitas externas
    • Não temos regiões fechadas, totalizando 0 incógnitas internas
    • Temos 3 equações de equilíbrio
    • Não temos rótulas

    n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = 5 + 0 - 3 = 2  

    Ou seja, nossa estrutura possui dois graus de hiperestaticidade, que se eu conseguir tirar da nossa estrutura, transforma a nossa estrutura em isostática. E bem, é exatamente isso que vou fazer, e é ai que mora o segredo, podemos quebrar quaisquer dois vínculos da nossa estrutura, desde que ela fique isostática.

    Passo 2

    Como eu disse, podemos quebrar dois vínculos da estrutura, e substituir esses vínculos por hiperestáticos de reação, sacou a jogada? Eu tiro o vinculo para a estrutura se tornar isostática, mas coloco uma reação, relacionada àquele vinculo quebrado, exatamente para que a estrutura continue se mantendo de maneira coerente, e como disse, podemos quebrar quaisquer dois vínculos que a nossa estrutura tenha, como o exemplo abaixo.

    Perceba que eu quebrei um vínculo do apoio do segundo gênero da direita que travava deslocamento horizontal, e no lugar coloquei um hiperestático, que chamei de X1 no lugar.

    No apoio do terceiro gênero da esquerda, quebrei um vinculo de momento, e coloquei no lugar um hiperestático que compensasse a quebra que fiz, ou seja, coloquei um hiperestático de momento que chamei de X2. E agora eu tenho uma estrutura isostática com ação de dois hiperestáticos nela.

    E perceba que eu poderia por exemplo, quebrar dois vínculos do apoio de terceiro gênero e passar a ter um apoio do primeiro gênero na esquerda e um do segundo gênero na direita. Ou quebrar os dois vínculos do apoio do segundo gênero da direita e ter apenas um apoio do terceiro gênero. Eu tenho inúmeras possibilidades, e todas darão a mesma resposta e seguirão o mesmo passo a passo, beleza? Então bora prosseguir.

    Passo 3

    O sistema isostático que definimos no passo anterior é muito importante, porque agora tudo vai girar em torno dele. Porque pensa no seguinte: antes nós tínhamos um sistema hiperestático todo travado e que não conseguíamos resolver, agora, temos um sistema em que liberamos alguns movimentos, mas travamos por força. No entanto, lembre-se que por exemplo, todo movimento que houver na horizontal, na estrutura isostática, no ponto 1 (ponto em que está o hiperestático 1) na verdade não existe na estrutura hiperestática.

    Então é ai que reside o cuidado que vamos ter que tomar com a nossa equação. Primeiro temos que definir o número de sistemas que temos, e é bem fácil, é simplesmente o número de hiperestáticos +1 ( esse +1 é o próprio sistema principal com o carregamento do enunciado).

    n º   d e   s i s t e m a s = n º   d e   h i p e r e s t á t i c o s + 1

    No nosso caso temos 3 sistemas que são:

    Perceba que o sistema principal zero, possui apenas o carregamento, o sistema principal 1, possui apenas o hiperestático 1, e o sistema principal 2, possui apenas o hiperestático 2. E perceba que os ponto que tem os hiperestáticos eu chamei de 1 e 2 em todos os sistemas, isso você vai ver que facilita muito a nossa vida, e agora é que vem o passo maneiro.

    Passo 4

    Lembra que no passo anterior eu disse que na estrutura isostática nos vamos permitir movimentos que não deveriam ser permitidos? Vamos mapear esses movimentos que não existiam e passaram a existir, em cada um dos sistemas, e pra isso é bom saber como vamos nomear isso, que é da seguinte maneira:

    Por exemplo:

    Feito isso, se fizermos o mapeamento teremos que:

  • Sistema zero
    • δ 10
    • δ 20
  • Ponto 1
    • δ 11
    • δ 21
  • Ponto 2
    • δ 12
    • δ 22
  1. Passo 5
  2. E pensa comigo, eu tenho que garantir que quando eu juntar todos os sistemas, tudo que ocorrer na junção dos sistemas deve ocorrer no sistema único hiperestático, e pra fazer isso eu só preciso resolver mais uma coisa. Eu sei quanto que vale δ 10 e δ 20 porque eu tenho os carregamentos do sistema 0, mas quanto valem as outras deformações? Eu não faço ideia, mas eu sei o seguinte, se eu analisar os meus hiperestáticos X1 e X2 como sendo valores unitários agindo na minha estrutura, eu consigo determinar o valor de δ 11 , δ 12 , δ 21   e   δ 22 para uma carga unitária, e com isso basta eu fazer a deformação para uma carga unitária, multiplicada para a carga real, que eu tenho a deformação real. Tá, talvez possa ter parecido embolado, mas é isso aqui que quero dizer:

  • Para o ponto 1
  • Para o ponto 2
  • E perceba que o número de equações sempre vai ser igual ao número de hiperestáticos.

  • Passo 6
  • Logo o nosso sistema de equações para esse problema será:

    δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 = 0

    E desse sistema precisamos tirar os valores de X1 e X2, ou seja, o método das forças vai nos das as forças dos vínculos que quebramos na nossa estrutura, mas o que você pode estar na dúvida agora é, se o objetivo é determinar X1 e X2, como raios vamos determinar os valores de δ ?

    É exatamente isso que vamos ver na parte II de método das forças, nessa parte 1 aprendemos como determinar o sistema de equações que resolve o nosso problema.

  • Fique ligado
  • É muito importante perceber que o número de equações e termos varia com o número de graus de hiperestaticidade.

    O número de equações sempre vai ser dado pelo número de incógnitas, ou melhor, pelo numero de hiperestáticos.

    Já o número de termos por fórmula será dado pelo numero de hiperestáticos +1, em resumo vamos ter isso aqui.

  • 1 hiperestático

    • 1 equação
    • 2 termos
    • δ 10 + δ 11 X 1 = 0
  • 2 hiperestático

    • 2 equação
    • 3 termos
    • δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 = 0
  • 3 hiperestático

    • 3 equação
    • 4 termos
    • δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 = 0 δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 = 0

E agora, tendo entendido como é bem tranquilo montar o nosso sisteminha a ser resolvido, bora fazer mais exercícios pra ficar craque em Montar o nosso sistema, e quando já estivermos bem treinado nisso, vamos para parte 2 dessa aula que vai mostrar como resolver o sistema.

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Passo 4

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