Método de Cross

Essa questão pede para acharmos os momentos distribuídos nas barras 1,2 e 3. Todas conectadas ao nó . Para isso vamos considerar o nó um ponto de engaste, essa é a primeira coisa a ser feita.

Depois vamos utilizar a tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante para achar as constantes de rigidez de cada barra. Com essas constantes vamos achar o coeficiente de distribuição. Lembrando que o coeficiente de distribuição é igual à constante de rigidez da barra sobre a soma das constantes:

Com o coeficiente de distribuição vamos achar os momentos distribuídos pelas barras =D

Vamos transformar então o nó num engaste, representamos isso por um simples quadrado:

Agora vamos olhar a tabela a qual o problema se refere:

Perceba que quando temos ambos os lados engastados temos que a rigidez relativa vale:

E quando um lado é engastado e outro rotulado:

Comoas barras 1 e 3 são engastadas vamos ter:

E para a barra 2 vamos ter um lado rotulado e outro engastado então temos:

Com os coeficientes de rigidez relativa vamos poder calcular os coeficientes de distribuição, que é a parte mais essencial desse problema! Lembrando que:

Temos de fazer isso para cada nó envolvido, como há apenas um nó:

obs: Aqui aproximamos para duas casas decimais beleza, pessoal?

Repare que a soma de todos esses valores da 1. Isso sempre vai acontecer dentro um nó, porque o momento deve ser distribuído entre todos eles e não pode faltar nem sobrar nada.

Agora vamos representar esses termos em cada nó da seguinte forma:

Finalmente vamos pegar o momento e fazer a distribuição.

Assim vamos calcular para a barra 1:

Para a barra 2:

Para a barra 3:

Representando num esquema:

Perceba que mantivemos o mesmo sentido do momento original e o seu módulo, já que a soma de todos esses momentos distribuídos vale .

Fim da questão =D

Na teoria a gente viu que é possível transformar um carregamento em cargas-momento e isso de fato é crucial para qualquer problema deste tipo. E para tal precisamos de auxílio da nossa tabelinha.

Perceba que a tabela fornece 3 situações de apoios e duas situações de carga. Com isso vamos poder achar todos os momentos através das equações mostradas na própria tabela.

Lembre-se que a primeira coisa que devemos fazer é transformar todos os nós internos em nós biengastados.

Primeiro vamos fazer a transformação dos nóis internos apoios biengastados:

Repare que fizemos isso apenas para os nós internos!

Agora vamos começar pela carga distribuída. Quando temos carga distribuída e viga biengastada vamos ter:

obs: Na tabela aparece e eu coloqueo aqui esquerda e direita para não confundirmos as letras!

obs2: Lembre-se de manter sempre os sinais!! A convenção de sinais é muito importante!

Agora vamos calcular para a barra 1 (caso de distribuição uniforme e apoio biengastado):

Para a barra 2 (também é o mesmo caso de distribuição uniforme e apoio biengastado):

Viu como cada seção da viga aplicada um momento sobre o ponto. Ou seja o mesmo ponto ( poe exemplo) pode estar sujeito a diversos carregamentos!

Vamos para a barra 3 (caso de viga engastada do lado esquerdo e apoiada com rótula do lado direito). Esse caso foi apresentado em outro passo porque agora temos, segundo a tabela:

Olha como o fato de ter uma rótula anula o momento!

Então teremos:

E finalmente temos de calcular o momento relativo à carga pontual. Que é dado por:

Novamente por causa da rótula o momento é nulo.

Vamos ter:

Agora vamos colocar todos esses momentos de volta na nossa figura:

Repare que o momento em relativo à barra 3 é igual a soma dos momentos relativos ao carregamento distribuído com o carregamento pontual

Essa questão pede para acharmos os momentos nos pontos A, B e C; ou seja, os pontos de apoio do sistema. Para isso vamos considerar o nó um ponto de engaste, essa é a primeira coisa a ser feita. Em seguida vamos utilizar a tabela de engastamento perfeito para saber qual será o momento gerado por esse carregamento.

Depois vamos utilizar a tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante para achar as constantes de rigidez de cada barra. Com essas constantes vamos achar o coeficiente de distribuição. Lembrando que o coeficiente de distribuição é igual à constante de rigidez da barra sobre a soma das constantes:

Com o coeficiente de distribuição vamos achar os momentos distribuídos pelas barras =D

Por fim vamos aplicar o coeficiente de transmissão que nos motrará qual será o momento efetivo nos apoios!

Vamos transformar então o nó num engaste, representamos isso por um simples quadrado:

Agora vamos descobrir quanto de momento essa carga irá gerar, através da tabela de engastamento perfeito:

Perceba que temos o caso de biengastamento então vamos ter para :

E para

Calculando esses valores:

E para :

Ou seja podemos transformar esse problema em um análogo:

Reparem que quando temos um valor negativo de momento o sentido fica anti-horário!

Pessoal, esse problema ficou muito parecido com o problema da questão 1 não é mesmo? Então vamos prosseguir da mesma maneira, a única coisa que vai mudar é o sentido do momento.

Agora vamos olhar a tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante afim de poder calcular o coeficiente de distribuição:

Perceba que quando temos ambos os lados engastados temos que a rigidez relativa vale:

E quando um lado é engastado e outro rotulado:

Comoas barras 1 e 3 são engastadas vamos ter:

E para a barra 2 vamos ter um lado rotulado e outro engastado então temos:

Com os coeficientes de rigidez relativa vamos poder calcular os coeficientes de distribuição, que é a parte mais essencial desse problema! Lembrando que:

Temos de fazer isso para cada nó envolvido, como há apenas um nó:

obs: Aqui aproximamos para duas casas decimais beleza, pessoal?

Repare que a soma de todos esses valores da 1. Isso sempre vai acontecer dentro um nó, porque o momento deve ser distribuído entre todos eles e não pode faltar nem sobrar nada.

Agora vamos representar esses termos em cada nó da seguinte forma:

Finalmente vamos pegar o momento e fazer a distribuição.

Assim vamos calcular para a barra 1:

Para a barra 2:

Para a barra 3:

Representando num esquema:

Perceba que mantivemos o mesmo sentido do momento original e o seu módulo, já que a soma de todos esses momentos distribuídos vale .

Até aqui foi bem parecido com o problema anterior. Mas além da carga distribuída vamos olhar como esses momentos em torno do nó serão distribuídos para os apoios.

Para achar o coeficiente de distribuição vamos ter que olhar novamente na tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante:

Ta vendo o termo esse é o termo de transmissão e vai valer para vigas biengastadas e será nulo para vigas rotuladas (exatamente porque a rótula permite rotação).

Sendo assim a transmissão para e será igual à metade do valor em :

E será nula para já que é rotulado (coitadinho.. não rotulem seus amigos kkk)

Assim vamos ter:

Esses são os momentos transmitidos maaaasss a gente quer os momentos nos apoios e não os momentos transmitidos de fato. Se lembra que em também exisitia um momento proveniente da carga? Esse momento valia:

Então temos de somar esse momento ao momento transmitido ao ponto :

Assim o resultado final será:

Essa questão pede para acharmos os momentos autantes nas barras, mais precisamente nos pontos dados.

Ao analisar a estrutra nós percebemos que se trata de uma estrutura hiperestática, ou seja, não pode ser resolvida utilizando aquelas equações da estática (somatório das forças e momentos).

Para resolver o exercício pelo método de Cross a gente vai fazer o seguinte passo a passo:

1. Substituir o nó por um sistema engastado e com auxílio da tabela de momentos especificar o momento aplicado na barra , sujeita à carga.
2. Calcular os coeficientes de distribuição entorno do nó.
3. Aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto A “liberando” esse ponto, observando que o momento depende de fatores geométricos e materiais das barras.
4. Calcular os momentos de cada barra segundo os fatores acima apresentados.

A primeira coisa que a gnete faz é a substituição do nó pelo sistema engastado, como se todas três barras estivessm biengastadas mesmo! Podemos representar isso por um quadrado em :

Vamos então olhar na tabela de “Grandezas auxiliares para battas com inércia constante J” e achar o momento. Como temos o caso de uma viga biengastada vamos ter:

Logo o momento atuante na barra 1 será igual a :

Substituindo os valores:

Perceba então que a barra exerce um momento de sobre o ponto .

Os coeficientes de distribuição são os coeficientes que dizem quanto da carga-momento é aplicada em cada barra e são calculados como:

Onde é a rigidez relativa de cada barra. Esse valor da rigidez relativa também é encontrado numa tabela de “Grandezas auxiliares para barras com inércia constante ”. Retirando o caso da viga biengastada da tabela temos:

Observe que necessitamos apenas do termo . Agora vamos calcular a rigidez relativa de cada barra (lembrando que todas estão biengastadas), o valor de foi dado no problema e é o comprimento da barra:

(Para esse última caso achamos por meio de pitágoras, ok)!?

Então como temos todos os agora podemos achar o termo de cada barra:

Agora a gente coloca esses dados em conjunto com os momentos e no nosso desenho da seguinte forma:

Agora vamos “liberar” o ponto do engaste e ao fazermos isso o momento se tornará uma carga-momento aplicado em e cada barra aplicará um momento e . Vai ficar mais ou menos assim:

obs: Repare bem nos sentidos! O sentido horário é positivo e o anti-horário é negativo, isso é muito importante porque as tabelas que utilizamos utilizam as mesmas convenções de sentido!

Agora nós vamos aplicar a relação entre os momentos das barras , e ; essa relação é da seguinte forma:

Onde é a carga-momento (nesse caso igual a ) e é um fator que diz quanto de será aplicado numa barra . Como já calculamos o ficar fácil achar os momentos:

Pronto! Agora temos os momentos que atuam em cada barra! Repare que os valores são negativos porque estão no sentido anti-horário!

Mas a gente achou diversos momentos que atuam nos pontos, o importante na análise do problema é achar o momento fletor resultante. Para isso a gente vai deduzir algumas parcelas, perceba que que para as barras e não precisamos fazer isso, apenas para a barra AB, que vamos ter:

Assim vamos obter o seguinte:

Esses são os momentos imediatamente próximos do ponto , nós precisamos também dos momentos relacionados aos pontos , e . Que são achados utilizando novamente a tabela de “Grandezas auxiliares para barras com inércia constante ”. Retirando o caso da viga biengastada da tabela temos:

Olha para o termo esse termo é chamado de coeficiente de transferência e é o termo que diz quanto do momento em vai ser transferido para . No nosso caso todos são iguais a então para as barras e basta dividir por :

Para a barra precisamos considerar também o momento que vem do engaste

Colocando no diagrama vamos ter:

Essa questão pede para acharmos os momentos autantes nas barras, mais precisamente nos pontos dados.

Ao analisar a estrutra nós percebemos que se trata de uma estrutura hiperestática, ou seja, não pode ser resolvida utilizando aquelas equações da estática (somatório das forças e momentos).

Para resolver o exercício pelo método de Cross a gente vai fazer o seguinte passo a passo:

1. Substituir os nós por sistemas engastados e com auxílio da tabela de momentos especificar o momento aplicado em cada seção da viga sujeita à carga.
2. Calcular os coeficientes de distribuição entorno do nó.
3. Aplicar o somatório dos momentos em relação aos pontos “liberando” tais pontos observando que o momento depende de fatores geométricos e dos materiais das barras.
4. Calcular os momentos de cada barra segundo os fatores acima apresentados.

A primeira coisa que a gnete faz é a substituição dos nós pelo sistema engastado, como se todas seções da viga estivessm biengastadas mesmo! Para essa representação utilizamos um quadrado, veja:

obs: Repare que não é precisa mudar a condição de , isso ocorre simplesmente pelo fato de se localizar na ponta da viga e queremos apenas os momentos internos!

Vamos então olhar na tabela de “Grandezas auxiliares para battas com inércia constante J” e achar o momento. Aqui temos tanto o caso biengastado quanto o caso de um lado engastado e outro rotulado, vamos olhar a tabelinha:

Para a barra 1 temos a terceira condição de contorno (ou bordo) então vamos ter:

Como a carga vale e o comprimento é igual a vamos ter:

Para a barra 2 vamos ter a primeira condição de contorno, portanto:

Como a carga vale e o comprimento é igual a vamos ter:

Finalmente para a barra 3 também vamos ter a primeira condição de contorno, logo:

Como a carga vale e o comprimento é igual a vamos ter:

Agora a gente pode substituir o carregamento distribuído pelos momentos que calculamos:

Agora vamos calcular os coeficientes de distribuição.

Os coeficientes de distribuição são os coeficientes que dizem quanto da carga-momento é aplicada em cada barra e são calculados como:

Onde é a rigidez relativa de cada barra. Esse valor da rigidez relativa também é encontrado numa tabela de “Grandezas auxiliares para barras com inércia constante ”. Retirando o caso da viga biengastada da tabela temos:

Observe que necessitamos apenas do termo . Agora vamos calcular a rigidez relativa de cada barra. O valor de foi dado no problema e é o comprimento da barra:

Para a barra 1 vamos ter um lado engastado e outro rotulado, então:

Para a barra 2 vamos ter ambos os lados engastados, então:

Para a barra 1 vamos ter ambos os lados engastados, então:

Então como temos todos os agora podemos achar o termo de cada barra. Importando lembrar que isso se refere a cada nó então vamos ter, em torno do nó :

Em torno do nó :

Agora a gente coloca esses dados em conjunto com os momentos calculados no nosso desenho da seguinte forma:

Agora vamos começar o nosso processo iterativo! Diferentemente da primeira questão deste assunto (que tinha apenas um nó) esse problema tem mais de um nó, por isso é necessária a iteração!

O passo zero é colocar os dados de momentos que já calculamos, vai ficar assim:

Agora vamos dar o primeiro passo, que consiste em liberar a rotação do nó , desta forma uma carga-momento deverá ser aplicada sobre de forma a permanecer em equilíbrio, o valor dessa carga-momento é igual à diferença entre os momentos de um lado e do outro:

Então é como se a gente tivesse isso aqui:

Mas essa carga momento de gera uma momento de igual valor e sentido contrário () que é distribuido para os dois lados do nó pelo coeficiciente de distribuição . E vamos obter:

Pode até reparar que a soma desses momentos é igual a . Então agora vamos obter:

Mas o passo 1 ainda não acabou porque existe ainda o coeficiente de transmissão! O que quer dizer que parte do momento gerado no nó e aplicado a barra 2 (igual a ) irá ser transmitido para o nó pela própria barra 2.

Esse coeficiente de transmissão está explicitado na tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante e é o termo :

Como temos o caso biengastado ele vale:

Logo a transmissão será igual à metade do valor:

Colocando no nosso diagrama:

Pronto! O passo 1 está completo e o nosso nó está em equilíbrio por isso marcamos em negrito os valores que obtivemos em vamos fazer isso só para ficar mais evidente, não é super necessário para a resolução da questão.

Observe que, por se tratar de um nó rotulado, nenhum momento é transmitido ao nó .

Agora vamos para o passo 2 que consiste em fazer a mesma coisa que fizemos para o nó mas para o nó que ainda não está em equilíbrio.

Agora vamos liberar e ao fazer isso a carga-momento que aparece será igual à diferença entre os momentos, fazendo o cáclculo vamos obter:

Desta forma os momentos que aparecem no nós devem compensar o momento de logo valerão e terão valor conforme o coeficiente de distribuição desse nó:

Mostrando no desenho

Agora a gente tem que lembrar do coeficiente de transmissão, que vale para ambas as barras 1 e 2 pelo fato das duas estarem biengastadas.

Pronto! Agora temos o ponto em equilíbrio e assim como fizemos no passo anterior marcamos em negrito os valores.

Mas aconteceu uma parada né, o nó recebeu um momento transmitido pela barra 2. Então o nó agora não está mais em equilíbrio.

Por esse motivo vamos voltar ao nó e aplicar os mesmos princípios! Repare que iteração começa a ficar mais evidente e além disso os valores está diminundo, ou seja, convergindo. Graças a deus né!!

Agora a carga-momento aplicado em é igual ao próprio valor recebido pelo nó , portanto, os momentos internos atuantes devem ter valor de para equilibrar e serão distribuídos conforme os coeficientes de distribuição.

Com isso o nosso nó volta ao equilíbrio:

Mas o valor de será transmitido para o nó :

Já reparou no que aconteceu né!!! Já reparou né!!!!

O nó agora saiu do equilíbrio!! PQP que sacoooo....

Isso é chatão eu sei, mas ta indo, acredite!! Tenha MUITA FÉ!

Pessoal agora vamos fazer a mesma coisa, liberar o nó aí vai ter uma carga-momento no valor igual ao transmitido pela barra de e com isso os momentos internos terão de ser iguais a e serão distribuídos conforme os coeficientes de distribuição. NADA DE NOVO NO HORIZONTE, CABRAL!!

obs: Rolou uma aproximação ali, ok? Isso não tem muito problema porque o exercício muitas vezes vai falar para aproximar até a segundo casa decimal, iterar 3 vezes ou coisas desse gênero. Até porque se não houvesse nenhum limite desse tipo iríamos ficar aqui para sempre!

Mostrando na nossa figura:

Esses valores serão transmitidos pelas barras 2 e 3:

Reparem que o nó não está mais em equilíbrio portanto vamos fazer o mesmo processo novamente. A carga-momento vale , logo o momento interno vale e será distribuído:

No desenho:

Aplicando a transmissão:

Voltamos para o ponto que terá a carga-momento no valoe de portanto os momentos internos têm valor que serão distribuídos:

No desenho:

Aplicando a transmissão:

Agora voltando ao ponto nós vamos ter uma carga-momento de portanto os momentos internos são de e vão valer:

Viu como é importante estabelecer um limite de aproximação! A nossa iteração acaba aqui porque houve equilíbrio dos dois lados e vamos representar no desenho como:

Agora que a nossa iteração acabou, como vamos saber qual o valor do momento de fato?

Agora é só somar todos os termos de cada coluna, fazer a chamada superposição. Assim vamos obter:

Para o nó , pelo lado esquerdo (referente à barra 1):

Agora pelo lado direito (referente à barra 2):

Viu que o resultado deu igual em módulo e com sentidos opostos? Isso quer dizer que o problema ficou certinho!! Na verdade nem precisamos calcular para ambos os lados, mas fiz isso para mostrar que deu certo!

Agora para o nó , pela direita (referente à barra 3):

Finalmente para o nó :

Pessoal lembrem-se que o sentido horário é o positivo hein!!!

Assim vamos ter: