Método dos deslocamentos no caso com deslocabilidade externa

Produzido por Pablo Ricardo
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Teoria

Introdução

Até aqui aprendemos como trabalhar com uma estrutura no caso em que ela só possua deslocabilidades internas.

Nessa aula vamos aprender o que fazer quando ela possuir uma deslocabilidade externa, ou seja, o que ocorre com aquele apoiozinho do primeiro gênero que colocamos nas nossas estruturas para representar a nossa deslocabilidade externa.

Já tivemos uma ideia do que fazer em uma estrutura que tem deslocamentos no nosso caso de williot, mas agora vamos ver como proceder no caso em que impormos um deslocamento unitário.

Deslocamento imposto

O funcionamento é exatamente o mesmo que temos no caso de deslocabilidade interna. Como fazíamos lá?

  • Primeiro travávamos a rotação com uma chapa
  • Depois rotacionávamos a chapa em 1 grau
  • Em seguida analisávamos as condições de contorno
  • Por fim fazíamos o calculo das rigidezes de cada nó de acordo com as condições de contorno
  • No caso da deslocabilidade externa, vamos seguir o mesmo passo a passo, mas fazendo o seguinte esquema.

  • Primeiro travamos o movimento com o apoio do primeiro gênero
  • Depois deslocamos o apoio em uma unidade de comprimento
  • Em seguida analisávamos as condições de contorno
  • Por fim fazíamos o cálculo das rigidezes de cada nó de acordo com as condições de contorno

Perceba que faremos a mesma coisa que antes, mas agora utilizando deslocamentos recíprocos, e não, rotações reciprocas, para isso vamos fazer um exemplo que vai nós auxiliar nos nossos cálculos.

Exemplo

Imagine a estrutura abaixo, e imagine que a gente tenha que determinar as deformações verticais e rotacional do ponto B do desenho abaixo, como devemos proceder pra dar tudo certo? Usando E J = 2   .   10 4   k N m 2 .

Passo 1 – determinar o as deslocabilidades e travar elas

Sabemos que para determinar as deslocabilidades precisamos seguir algumas regrinhas que já foram bem esmiuçadas nas aulas anteriores, então aqui vamos ir um pouco mais direto.

  • Deslocabilidades internas
    • Sabemos que são todos os nós que não são apoios extremos e nem rotulados
    • Com isso temos que apenas o nó B será uma deslocabilidade interna, e por isso colocamos uma chapa nele.
  • Deslocabilidades Externas
    • Deslocabilidades externas são as que permitem algum deslocamento do nó além da rotação.
    • No nosso caso o nó A e D são indeslocaveis
    • O nó B é impedido de subir ou descer, mas pode ir pra frente ou para trás, dessa maneira, precisamos por ali um apoio do primeiro gênero, e com isso teremos que:
    • Como o nó B se tornou indeslocavel, e o nó D já era, podemos dizer que o nó C também é indeslocavel.
  • Dessa maneira montamos o nosso sistema a ser resolvido.

    Passo 2 – determinar o valor de β 10 e β 20

    Para isso continuamos com a nossa tabelinha de momentos de engastamento perfeito, porém lembre-se que se para chapa determinamos momento, para apoios do primeiro gênero, teremos que determinar reações de apoio, sendo assim a nossa tabela a ser usada é:

    Perceba que só temos carregamento na barra BC, e que só temos carregamentos verticais, logo, como nosso apoio do primeiro gênero é horizontal, não teremos reação de apoio, e já podemos dizer que:

    β 20 = 0

    Mas vamos ver como determinar essas reações de apoio daqui a pouco.

    Para determinar β 10 basta olharmos que em C o apoio é rotulado é no apoio B é engastado, então temos uma barra do tipo engastada e rotulada, e nossa conta será dada por:

    E assim a nossa fórmula será:

    Assim sabemos que:

    β 10 = 9   k N m

    Passo 3 – determinar as reações de apoio

    Nós determinamos as reações de apoio com intuito de determinar a reação no apoio do primeiro gênero, mas já vimos que nesse caso será zero, por isso vamos fazer aqui só um exemplo para sabermos resolver qualquer caso.

    Para isso basta separarmos a barra do resto da estrutura, e lançar as reações de apoio como mostradas a seguir:

    E perceba que as reações ficam na mesma direção das fibras tracionadas. Fazendo o somatório de momentos em B teremos que:

    6 V C + 9 - 2   .   6   .   3 = 0

    V C = 4,5   k N

    V C + V B - 2   .     6 = 0

    4,5 + V B - 2   .     6 = 0

    V C = 7,5   k N

    E como já deu positivo, o sinal pra reação de apoio se mantem positivo também. Se desse negativo, para reação de apoio também seria. E sempre faremos isso para determinar a reação de apoio, separamos as barras, calculamos os carregamentos e fazemos as reações de apoio, beleza? Bora continuar então.

    Passo 4 – determinar o valor de β 11 e β 21

    Perceba que agora começamos em um conceito que já conhecemos, como o segundo termo é 1, significa que temos que rotacionar a chapa 1, com isso teremos que dividindo esse termo por EJ, teremos que:

    E lembre-se que sempre que rotacionamos uma chapa, usamos a seguinte equação:

    Dessa maneira teremos que:

    β 11 = 1 2 + 2 3 = 7 6

    Mas como determinamos o que acontece com β 21 ? Basta entender o que ele significa. Ele é o que acontece no apoio 2 devido a rotação na chapa 1, ou seja, precisamos das reações de apoio, fazendo o que já aprendemos, podemos fazer o seguinte:

    Fazendo o somatório de momentos em B teremos que:

    1 3 + 2 3 - 6 V A = 0

    V A = V B = 1 6   k N m

    Como o sinal se conserva pra reação de apoio, e precisamos do que está agindo na direção do apoio do primeiro gênero, usaremos o valor de V B no mesmo sentido que calculamos, ou seja, podemos dizer que:

    β 21 = 1 6

    Passo 5 – Determinar o valor de β 22 e β 12

    Agora que entra o nosso novo conceito, no passo anterior nós rotacionamos a nossa chapa em 2 grau certo? Mas agora não temos mais uma chapa, e sim um apoio, e nesse caso também iremos impor uma deformação, mas não mais de rotação, mas de deslocamento. Como decidimos que da esquerda para direita é positivo, iremos deslocar o nosso apoio do primeiro gênero da esquerda para direita e em uma unidade.

    E sempre que deslocarmos um apoio devemos prestar aa tenção em duas coisas.

  • A fórmula a ser usada é essa aqui em baixo:
  • E a segunda coisa a ser notada é que esse deslocamento geralmente afeta mais de uma barra, por exemplo, perceba que a nossa barra AB foi dobrada, mas a nossa barra CD também foi dobrada. No nosso exemplo a barra CD por ser Bi-rotulada não apresentará momentos, mas só por isso que não iremos considerar momentos nela, se fosse outra barra com algum tipo de engaste, deveríamos considerar momentos em ambas as barras. Em vários exercícios iremos ver melhor isso, mas é importante já irmos com esse pensamento.
  • Dessa maneira teremos que:

    Mas lembre-se que impomos uma deformação de ρ = 1 , e devemos lembrar também que dividimos no outro caso tudo por EJ, então obrigatoriamente teremos que dividir por EJ também aqui, assim teremos:

    Assim teremos que a rigidez que age no ponto 1 devido o movimento do apoio 2 será dado por:

    β 12 = 1 6

    E o que acontece no apoio 2 devido o movimento do apoio 2? É ai que determinamos as reações de apoio:

    1 6 + 1 6 - 6 V A = 0

    V A = V B = 1 18   k N m

    Como o sinal se conserva pra reação de apoio, e precisamos do que está agindo na direção do apoio do primeiro gênero, usaremos o valor de V B no mesmo sentido que calculamos, ou seja, podemos dizer que:

    β 22 = 1 18

    Passo 6 – Determinar as deformações

    Agora é simples, todo o resto continua igual, o que acrescentamos aqui foi simplesmente como resolver um problema com deslocabilidade externa, e fazemos como sempre fazemos com a chapa, só que ao invés de rotacionarmos em um grau, deslocamos em uma unidade na horizontal, sendo assim teremos que apenas resolver o sistema gerado que será:

    β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

    β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

    9 + 7 6 ∆ 1 + 1 6 ∆ 2 = 0

    0 + 1 6 ∆ 1 + 1 18 ∆ 2 = 0

    7 6 ∆ 1 + 1 6 ∆ 2 = - 9

    1 6 ∆ 1 + 1 18 ∆ 2 = 0

    Resolvendo esse sistema teremos que:

    ∆ 1 = - 13,5

    ∆ 2 = 40,5

    E se pararmos para prestar a atenção vamos ver que ∆ 1 representa a rotação do ponto B e ∆ 2 o deslocamento horizontal do ponto B, que é exatamente o que a gente precisa. Mas devemos lembrar que simplificamos a nossa equação dividindo tudo por EJ, sendo assim, precisamos fazer isso aqui para termos os deslocamentos reais, e assim teremos que:

  • Rotação do ponto B
  • ∆ 1 = - 13,5   . 1 E J = - 13,5   . 1 2   .   10 4 = 6,75   .   10 - 4   r a d

    Se deu negativo é porque se rotacionamos a chapa no sentido anti-horário, significa que na realidade ela rotaciona no sentido horário.

  • Deslocamento do ponto B

∆ 2 = 40,5   . 1 E J = 40,5   . 1 2   .   10 4 = 2,025   .   10 - 3 m = 2,025   m m

Como deu positivo, significa que escolhemos o sentido certo, ou seja, da esquerda para direita.

Ou seja, com isso tudo, conseguimos entender como resolver problemas com deslocabilidade externa, e como determinar as suas deformações. E os momentos são determinados da mesma maneira que antes, podemos fazer da seguinte maneira:

M = M 0 + ∆ 1 M 1 + ∆ 2 M 2

Que substituindo teremos que:

M = M 0 - 13,5   M 1 + 40,5 M 2

E perceba que usamos os valores determinados no sistema, e não os valores das deformações reais, e com isso conseguimos resolver qualquer sistema com deslocabilidades externas, beleza? Bora fazer alguns exercícios para podermos ficar craques nessa área.

Deslocamento imposto

Exemplo

Passo 1 – determinar o as deslocabilidades e travar elas

Passo 2 – determinar o valor de β 10 e β 20

Passo 3 – determinar as reações de apoio

Passo 4 – determinar o valor de β 11 e β 21

Passo 5 – Determinar o valor de β 22 e β 12

Passo 6 – Determinar as deformações