Usando o método de williot para temperatura

Produzido por Pablo Ricardo
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Teoria

Introdução

Na ultima aula aprendemos apenas a montar o nosso williot de temperatura a partir da seguinte estrutura:

E obtemos o williot completo dado pela figura abaixo, em que as medidas determinadas por calculo são dadas também:

Mas como podemos usar isso para determinar as rigidezes da nossa barra? É isso que vamos fazer nessa aula.

Determinação do nome das barras

Nesse caso basta seguirmos o mesmo principio que aprendemos no método de williot para recalque, sempre nomeamos a barra na ordem que fomos descobrindo os pontos, ou seja, se fizermos em ordem o nome de cada ponto que determinamos, teremos que:

b , c , e ,   f ,   d ,   a

Ou seja, seguindo essa ordem, o nome de cada barra, será:

b a r r a   D A

pois determinamos o D antes do A, e repetindo a sequencia em todas teremos que:

Determinação do deslocamento das barras

Perceba que agora as nossas barras tem um nome e um número, por exemplo a barra 1 que se chama DA. Porque isso é importante? Porque se quisermos saber o deslocamento da barra DA usando williot, precisamos primeiro procurar no Williot o número da barra, no nosso caso a barra 1:

E em seguida determinamos o segundo termo do nome da nossa barra, ou seja, se a Barra é DA, então determinamos o ponto A.

E o deslocamento da barra DA será dado do número da barra para o segundo termo do seu nome, sendo assim o deslocamento será dado por:

E onde aplicamos ele? Aplicamos também no ponto que simboliza o segundo termo do nome da barra. Ou seja, no osso caso aplicaremos no ponto A. tendo isso basta usarmos as equações para determinação das rigidezes, fazendo isso para o resto das barras teremos que:

ED (barra 2)

EF (barra 3)

Aplicado no ponto F.

BD (barra 4)

BE (barra 5)

CE (barra 6)

Aplicado no ponto E.

CF (barra 7)

Aplicado no ponto F. Porém perceba que a barra CE é rotulada tanto no ponto C quanto no ponto F, ou seja, independente do deslocamento que se tenha, os momentos serão zero devido as rótulas, o que significa que as rigidezes nesse caso também serão zero. Com isso agora só basta separarmos as barras com deslocamento, agindo no ponto que definimos e determinarmos as suas rigidezes, sendo assim teremos que:

Determinação das rigidezes

Sabemos que para cada barra os deslocamentos serão:

E temos um último aplicado em F, mas que podemos rejeitar porque lembre-se que ambas as bordas (extremidades) eram rotuladas, ou seja, não produzira rigidezes que nos interessem. Como se trata de um deslocamento, podemos usar as seguintes equações para determinação das rigidezes:

Começando pela barra DA, temos que:

Para determinar ρ D A precisamos usar as relações que achamos no williot dadas pelas fórmulas α T g L , que encontramos aqui embaixo:

Outra parada importante que vale notar é que ele age na nossa chapa 1, logo teremos, lembrando que o sentido horário é negativo:

β 10 = - 3 E J ρ D A L D A 2

Então se soubéssemos que:

E J α = 1   k N m / ° C

L 1 = L 2 = L 3 = 8 m

L 6 = L 4 = 6 m

T g = 20   ° C

Perceba que pelo williot ali de cima, o valor de ρ D A é a distância entre o ponto 1 e “a”, que pelo williot vemos que vale

ρ D A = α T g L 6 = α T g L 4 = α .   20   . 6 = 120 α

Substituindo teremos que:

β 10 = - 3 E J ρ D A L D A 2 = - 3 E J 120 α L D A 2 = - 3   .     1     .     120 8 2 = - 5,6

E agora indo para a barra CE, temos que:

Para determinar ρ C E precisamos usar as relações que achamos no williot dadas pelas fórmulas α T g L , que encontramos aqui embaixo:

Outra parada importante que vale notar é que ele age na nossa chapa 2, logo teremos, lembrando que o sentido anti-horário é positivo:

β 20 = 3 E J ρ C E L C E 2

Então se soubéssemos que:

E J α = 1   k N m / ° C

L 1 = L 2 = L 3 = 8 m

L 6 = L 4 = 6 m

T g = 20   ° C

Perceba que pelo williot ali de cima, o valor de ρ C E é a distância entre o ponto 2 e “e”, que pelo williot vemos que vale

ρ C E = α T g L 2 = α .   20   . 8 = 160 α

Substituindo teremos que:

β 20 = 3 E J ρ C E L C E 2 = 3 E J 160 α L C E 2 = 3   .     1     .     160 6 2 = 13,3

E por fim a barra EF, temos que:

Para determinar ρ E F precisamos usar as relações que achamos no williot dadas pelas fórmulas α T g L , que encontramos aqui embaixo:

Outra parada importante que vale notar é que ele age na nossa chapa 2, logo teremos, lembrando que o sentido anti-horário é positivo:

β 20 = 3 E J ρ E F L E F 2

Então se soubéssemos que:

E J α = 1   k N m / ° C

L 1 = L 2 = L 3 = 8 m

L 6 = L 4 = 6 m

T g = 20   ° C

Perceba que pelo williot ali de cima, o valor de ρ E F é a distância entre o ponto 3 e “f”, que pelo williot vemos que vale

t a n θ = α T g L 3 ρ E F = 6 8

ρ E F = 8 α T g L 3 6 = 8 6   .   20   .   8   .   α = 213 α

Substituindo teremos que:

β 20 = 3 E J ρ E F L E F 2 = 3 E J 213 α L E F 2 = 3   .     1     .     213 8 2 = 10

E como temos dois caras agindo na chapa 2, basta somarmos eles dois para termos o resultante:

β 20 = 13,3 + 10 = 23,3

E para determinação de β 11 ,   β 22 ,   β 12 … basta que façamos o que estamos cansados de conhecer, que é basicamente rotacionar as nossas chapas e analisar o comportamento na estrutura, e assim conseguimos resolver toda e qualquer estrutura usando o williot para variação de temperatura na nossa estrutura.

Bora fazer exercício pra ficar craque nisso.

Determinação do deslocamento das barras

ED (barra 2)

EF (barra 3)

BD (barra 4)

BE (barra 5)

CE (barra 6)

CF (barra 7)

Determinação das rigidezes