Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área

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Teoria

Meus queridos e minhas queridas que tal aprendermos mais um método para o cálculo da inclinação e deslocamento da linha elástica?

A gente já viu como fazer isso por integração e agora vamos aprender a fazer por meio da área do diagrama de momento fletor! Até porque né, áreas e integrais tem tudo a ver não é mesmo?

Pessoal, este tipo de método sempre vai achar a diferença entre as inclinações de dois pontos da viga. Nunca o valor absoluto, ok? Então dá uma olhada no exemplo abaixo para ficar um pouco mais concreto para você!

Diferença entre inclinações

Vamos pegar o exemplo de uma viga biapoiada com uma carga central sendo exercida sobre ela.

Nesse desenho a gente já representou a deflexão que a viga está sofrendo. Agora vamos imaginar que queremos calcular a inclinação do ponto B em relação ao ponto central.

Uma forma melhor de ver essa viga é representar apenas a linha elástica e a inclinação em B e no centro C , da seguinte forma.

Viram que a inclinação de B em relação à inclinação de C é dada pelo ângulo θ B / C , formado pelas duas retas tangentes?

É exatamente esse ângulo que vamos achar quando aplicarmos o conceito das áreas. É importante lembrar também que não vamos achar o ângulo de B ou C mas o ângulo entre os dois!

Agora vamos para a parte das contas..

Equação da linha elástica

Pessoal, a gente já viu a equação da linha elástica mas pra refrescar a memória vou colocar de novo aqui pra vocês.

d 2 y d x 2 = M E I

Onde y é o próprio deslocamento, ou deflexão, da linha elástica. E e I são a constante elástica e o momento de inércia e M o momento fletor.

Além disso a gente tem também a equação da inclinação, que é nada mais nada menos do que a primeira derivada dessa joça aí:

θ = d y d x = ∫ M E I   d x

Show de bola, agora que a gente relembrou essas equações a gente vai ver como elas vão se tornar áreas. Deixa eu te fazer uma pergunta, como você calcularia a área da função f ( x ) dada abaixo entre os pontos A e B ?

Você, que é um excelente aluno de cálculo que eu seeei, vai fazer a integral dessa função entre A e B :

Á r e a = ∫ A B f x   d x

E você vai estar certo!! Uhulll que felicidade =D

Cálculo da inclinação pela área

Agora imagina que a gente constrói o seguinte gráfico:

A área desse gráfico vai ser igual a:

Á r e a = ∫ A B M E I   d x

Repare que isso é idêntico à equação da inclinação!

θ = d y d x = ∫ M E I   d x

Então a gente pode dizer que a inclinação entre dois pontos ( A   e   B ) da nossa viga é igual a área do diagrama M / E I !!! Colocando na forma de uma expressão:

θ B - θ A = ∫ A B M E I   d x = Á r e a

A gente pode escrever ainda que a diferença entre esses dois ângulos pode ser escrita como:

θ B / A = θ B - θ A

Agora que tal ver isso para o deslocamento?

Cálculo do deslocamento pela área

Pessoal, no caso do deslocamento a gente não vai usar a área apenas, vamos utilizar o momento da área. Assim, vamos precisar achar o baricentro de área também!

Nesse caso também vamos achar um deslocamento entre dois pontos, ok? E não o valor absoluto!

Colocando na forma de uma equação vamos ter:

t A / B = ∫ A B x   M E I   d x = x - ∫ A B   M E I   d x

Reparem que o termo x sai da integral e se torna x - que é o próprio centroide! Além disso essa equação é obtida de algumas aproximações considerando que os ângulos e deflexões são muito pequenos. Mas o principal para você agora é saber que a deflexão pode ser calculada pelo momento da área.

t A / B = x -   .   A

Podemos escrever ainda:

t A / B = x -   .   θ A / B

Onde t A / B é o deslocamento, ou deflexão, relativo(a) entre A e B . x - é o centroide da área e θ A / B é a inclinação relativa entre A e B (que é igual a área).

Vamos fazer um exemplo!

Exemplinho

Imaginem que construímos o seguinte diagrama M / E I . Que é o diagrama de momento fletor mas dividido pelos termos E e I , beleza?

Se a gente quiser achar a inclinação entre os pontos x = 10   m e x = 5   m . A gente só precisa achar a área da figura formada:

θ B / C = 1 2 5 300 E I = 750 E I

Tranquilo né? Aqui é válido lembrar também dois pontos:

  1. Esse valor do ângulo é dado em radianos quando utilizadas grandezas no sistema internacional [ P a ,   m ,   N . . ]
  2. Valores positivos representam variações no sentido anti-horário, enquanto valores negativos representam variações no sentido horário

Agora vamos achar também o deslocamento relativo entre os dois pontos. Lembre-se que para isso temos de achar o centroide:

t B / C = x -   .     A

t B / C = 2 3 × 5   .   750 E I

t B / C = 2500 E I

Vamos frisar três pontos importantes aqui também:

  1. O valor do deslocamento é dado em metros quando utilizadas grandezas no sistema internacional [ P a ,   m ,   N . . ]
  2. Valores positivos representam deflexões acima da linha tangente, enquanto valores negativos representam deflexões abaixo da linha tangente.
  3. A distância x - do baricentro é calculada em relação ao primeiro ponto do termo t B / C , ou seja entorno do ponto B . No nosso caso B = 10   m e C = 5   m . Isso é muito importante e faz toda a diferença no final!

Equação da linha elástica

Cálculo da inclinação pela área

Cálculo do deslocamento pela área

Exemplinho

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine a inclinação e a deflexão em B . E I é constante.

Passo 1

Pessoal, aqui o problema pede para calcular a inclinação que é dada por θ e a deflexão que é o termo Δ ,   t ou y , aqui vamos usar t . Existem diversas formas de fazer isso mas vamos utilizar a técnica dos momentos de área.

A gente viu dois teoremas que vão nos ajudar o primeiro é para calcular a inclinação. Para isso basta achar a área embaixo do gráfico M / E I .

Já para achar a deflexão é só pegar o termo que achamos no item acima e multiplicar pelo centroide da área.

Vamos fazer o passo a passo.

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em x então:

A x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - P = 0

A y = P

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A e considerando o sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

M - P × L = 0

M = P L

Passo 3

Agora vamos colocar essas forças na viga:

O diagrama M / E I ficará da seguinte forma:

Nesse caso o valor máximo (em módulo) é em A , vale P L / E I e vai se aproximando de zero linearmente até chegar em 0 em x = L

Passo 4

Agora vamos aplicar o primeiro teorema para achar a inclinação em B . Para isso é legal construir um esboço de como a deflexão da viga vai ficar:

Para achar esse valor de θ B / A , que é a inclinação de B em relação à inclinação de A vamos calcular a área embaixo do gráfico entre B e A , desta forma vamos ter:

θ B / A = 1 2 L × - P L E I = - P L 2 2 E I

Como não existe inclinação em A pelo fato da viga estar engastada então vamos ter:

θ B / A = θ B

Assim já temos a inclinação e vale:

θ B = - P L 2 2 E I

Passo 5

Para achar a deflexão basta multiplicar o termo θ B pelo centroide de área que acabamos de utilizar.

Como o centroide de um triângulo está localizado a uma distância de 2 / 3 da extremidade, vamos ter:

x - = 2 3 × L = 2 L 3

obs: Reaparem que precisamos pegar a distância a partir do ponto B , pois estamos calculando t B / A . Se estivéssemos calculando t A / B pegaríamos a distância a partir do ponto A .

Assim a deflexão será igual a:

t B / A = θ B / A × x -

t B / A = - P L 2 2 E I × 2 L 3 = - P L 3 3 E I

Novamente pelo motivo da viga estar engastada vamos ter que a deflexão é nula em A portanto:

t B = - P L 3 3 E I

Repare que ambas respostas deram negativas, o que faz sentido já que tanto a inclinação quanto a deflexão estão abaixo da tangente de A .

Resposta

θ B = - P L 2 2 E I

t B = - P L 3 3 E I

Exercício Resolvido #2

Determine a inclinação em C e a deflexão em B . E I é constante.

Passo 1

Para achar a inclinação e a deflexão nós vamos utilizar os dois teoremas vistos, lembrando que tanto a inclinação quanto a deflexão são iguais a zero no ponto de engaste.

Antes de mais nada é muito importante que façamos o diagrama do momento fletor e depois vamos calcular a área para achar a inclinação.

Por fim vamos multiplicar a área pelo centroide da área afim de achar a deflexão!

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer então é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em x então:

A x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - P = 0

A y = P

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A e considerando o sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

M - P a - P × 2 a = 0

M = 3 P a

Passo 3

Agora vamos colocar essas forças na viga:

No trecho A C nós vamos ter que a força cortante vai valer:

V = P

E o momento fletor:

M = V x - 3 P a

M = P x - 3 P a = P ( x - 3 a )

No trecho C B vamos ter que a força cortante vai valer:

V = P

E o momento fletor:

M = V x - 3 P a + P a

M = P x - 2 P a = P ( x - 2 a )

O diagrama M / E I ficará da seguinte forma:

Passo 4

Agora vamos aplicar o primeiro teorema para achar a inclinação em C . Para isso é legal construir um esboço de como a deflexão da viga vai ficar:

Dando um zoom no ponto C vamos obter o seguinte:

Onde a reta pontilhada é a tangente de A (ela tem inclinação zero porque A está engastado) e a reta contínua é a tangente de C , a gente quer o ângulo entre as duas.

Para achar esse valor de θ C / A   vamos calcular a área embaixo do gráfico entre B e A , desta forma vamos ter:

θ C / A = - 2 a P E I   a + 1 2 - a P E I ( a ) = - 5 a 2 P 2 E I

Como não existe inclinação em A pelo fato da viga estar engastada então vamos ter:

θ C / A = θ C

Assim já temos a inclinação e vale:

θ C = - 5 P a 2 2 E I

Passo 5

Agora vamos calcular a deflexão em B para isso a gente tem que achar a inclinação em B , ou seja a área do gráfico abaixo.

A área vai ser igual a:

A = - 2 a P E I   a + 1 2 - a P E I a + 1 2 - a P E I ( a )

A = - 3 a 2 P E I

Agora, para achar a deflexão precisamos também do centroide da área. Calculando esse centroide vamos ter:

x - = ∑ A x - ∑ A

Lembre-se que a posição do centroide tem o o ponto B como referência!

Para facilitar vamos encontrar a posição do centroide de cada uma das três figuras (os dois triângulos e o retângulo) em relação à origem:

p o s i ç ã o = 1 2 - a P E I a × a 3 + - 2 a P E I a × a 2 + 1 2 - a P E I a × a + a 3 1 2 - a P E I a + - 2 a P E I a + 1 2 - a P E I a

Podemos cortar um a e o termo ( - a P / E I ) :

p o s i ç ã o = 1 2 × a 3 + 2 × a 2 + 1 2 × a + a 3 1 2 + 2 + 1 2

p o s i ç ã o = a / 6 + a + 2 a / 3 3

p o s i ç ã o = a 18 + a 3 + 2 a 9

p o s i ç ã o = 11 a 18

Mas como queremos em relação à B e não em relação à origem vamos ter:

x - = 2 a - 11 a 18 = 25 a 18

E agora é só multiplicar na área

A = θ B = - 3 a 2 P E I

x - = 25 a 18

Vamos obter:

t B = θ B × x -

t B = - 3 a 2 P E I × 25 a 18

t B = - 25 P a 3 6 E I

Resposta

θ C = - 5 P a 2 2 E I

t B = - 25 P a 3 6 E I

Exercício Resolvido #3

Uma ginasta de 60   k g está em pé no centro da trave (viga) de equilíbrio simplesmente apoiada. Se a trave for feita de madeira e tiver aseção transversal mostrada na figura, determine a deflexão máxima. Consideramos que os apoios em A e em B são rígidos. E M = 12   G P a .

Passo 1

Galerinha, esse problema é muito parecido com os anteriores e pede a deflexão máxima. A partir daí já podemos saber que essa deflexão máxima ocorre no centro da viga, pelo fato de existir apenas um carregamento central, o peso da ginasta.

Além disso é válido lembrar também que a pesar de não haver inclinação nos apoios, existirá inclinação em ambos. Isso é importante para a resolução.

Vamos começar o problema que nem sempre e fazer um esquema de forças e achar o diagrama do momento fletor.

Partiu!

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Pessoal, já coloquei direto os valores das reações porque elas tem que ser iguais. Logo se a gente tem uma carga central de 600 N então cada reação tem o valor de 300   N , ok?

Passo 3

Agora podemos fazer o diagrama de momento fletor, fazendo um corte na barra vamos obter:

Para achar a força cortante:

∑ F y = 0

V = 300   N

Para achar o momento fletor:

∑ M = 0

M - V x = 0

M = V x = 300 x

O diagrama é simétrico e possui valor máximo em x = 2,7   m , assim podemos obter:

M = 300 × 2,7 = 810   N . m

Pessoal, reparem que aqui temos o diagrama do momento fletor sobre E I , não apenas do momento fletor!

Passo 4

Agora vamos calcular a deflexão máxima, que ocorre no centro. Para isso vamos calcular a área do diagrama que fizemos de modo a achar primeiro a inclinação no ponto médio.

Gente, nessa etapa tentem sempre fazer um esboço da linha elástica, nesse caso vai ficar assim:

Olha só agora como ficou! A tangente em C que é nula neste caso, enquanto a tangente em A tem uma inclinação. Gente, isso faz sentido dadas as condições de contorno né? (Uma viga simplesmente apoiada vai ter inclinação nas pontas. Como a carga é simétrica o centro não tem inclinação).

De qualquer forma vamos poder calcular o termo da inclinação de C com relação à A :

θ C / A = á r e a   d o   g r á f i c o

Assim, vamos ter que:

θ C / A = 1 2 2,7 810 E I = 1093,5 E I

Lembrando que:

θ C / A = θ C - θ A

Como a inclinação de θ C é nula, vamos ter que:

1093,5 E I = 0 - θ A

θ A = - 1093,5 E I

Passo 5

Agora a gente vai terminar esse problema com um pouquinho de geometria, se liga:

O que queremos achar é a deflexão em C , ou seja, t C . A partir da geometria da figura a gente tem que:

Δ = t C + t C / B

Onde Δ poder ser achado por semelhança de triângulos (um com base de 2,7 e outro com base de 2,7 × 2 ):

Δ = 1 2   t A / B

Logo, podemos calcular t C como:

t C = 1 2 t A / B - t C / B

Agora só precisamos achar t A / B e t C / B . Para isso vamos voltar ao nosso diagrama. Calculando t A / B primeiro vamos ter:

t A / B = x - × θ A / B

t A / B = 2,7 × 1 2 5,4 810 E I

t A / B = 5904,9 E I

Agora vamos calcular t C / B :

t C / B = 5,4 - 2,7 2 3 × 1 2 2,7 810 E I

t C / B = 1968,3 E I

Passo 6

Agora é só juntar os termos:

t C = 1 2 t A / B - t C / B

t C / B = 1968,3 E I

t A / B = 5904,9 E I

Assim vamos ter:

t C = 1 2 5904,9 E I - 1968,3 E I

t C = 984,15 E I

Mas ainda falta substituir os termos E e I .

Passo 7

Calculando o momento de inércia:

h = 150 3 × 2 × 75 + 125 75 + 125

Essa equação aí é tabelada ta bom, pessoal?

h = 68,75   m m

Agora é só fazer o momento de inércia de cada figura com relação ao eixo que passa pelo centroide, ou seja, a altura h da base maior do trapézio. Dividindo o trapézio em 2 triangulos e 1 retângulo, o momento de inércia dos triângulos é:

I 1 = I 3 = 1 36 b h 3 + A d 2

I 1 = I 3 = 1 36 0,025 0,150 3 + 0,025 0,150 2 0,06875 - 0,150 3 2

I 1 = I 3 = 3 , 003 × 10 - 6   m 4

Agora para o retângulo:

I 2 = 1 12 b h 3 + A d 2

I 2 = 1 12 0,075 0,150 3 + 0,075 0,150 0,075 - 0,06875 2

I 2 = 2,154 × 10 - 5   m 4

O momento de inércia total vale:

I = I 1 + I 2 + I 3

I = 3,003 × 10 - 6 + 2,154 × 10 - 5 + 3,003 × 10 - 6

I = 2 , 75 × 10 - 5   m 4

Agora é só substituir:

t C = 984,15 E I

t C = 984,15 ( 12 × 10 9 ) ( 2 , 75 × 10 - 5 )

t c = 2,98   m m

Resposta

t c = 2,98   m m

Exercício Resolvido #4

Determine a deflexão em C . E I é constante.

Passo 1

E aí, pessoal!!

Essa questão já um pouquinho mais complexa porque, apesar de pedir as mesmas coisas (inclinação e deflexão) aqui não há engaste. Ou seja, quando a gente for calcular a inclinação utilizando o método da área e vamos ter algo do tipo:

θ C / A = θ C - θ A

Sendo que agora existe uma inclinação em A .

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em x então:

A x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y + B y - 75 = 0

A y + B y = 75

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A e considerando o sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

B y × 8 - 75 × 12 = 0

B y = 112,5   k N

Dessa forma:

A y + 112,5 = 75

A y = 75 - 112,5 = - 37,5   k N

Passo 3

Agora vamos colocar essas forças na viga:

Como só existem forças pontuais o momento fletor cresce e decresce de forma linear tendo o seu máximo no ponto máximo em B . Fazendo o corte na seção A B vamos obter:

Para achar a força cortante:

∑ F y = 0

V = - 37,5   k N

Para achar o momento fletor:

∑ M A = 0

M - V × 8 = 0

M = 8 × V = 8 × - 37,5

M = - 300   k N . m

Assim, o diagrama M / E I ficará da seguinte forma:

Passo 4

Pessoal, lembram que

θ C / A = θ A - θ C

Dessa forma a gente precisa saber qual é a inclinação de A também.

Gente, vamos resolver esse problema com ajuda na nossa amiga geometria. Que tal fazermos um esboço da linha elástica olha só!

Com isso a gente percebe, pela geometria da figura que:

t C = t C / A - Δ

E esse delta pode ser encontrado por meio de uma semelhança de triângulos (olha para os triângulos de base 8 e 12):

Δ 12 = t B / A 8  

Δ = 12 8 t B / A = 3 2 × t B / A

Assim vamos ter:

t C = t C / A - 3 2 × t B / A

Dessa forma precisamos achar:

t C / A

e

t B / A

Passo 5

Achando t C / A :

A área é igual a:

A = θ C / A = 1 2 12 - 300 E I = - 1800 E I

O centroide vai estar localizado em:

x - = ∑ A x - ∑ A

x - = 1 2 8 - 300 E I × 8 × 2 3 + 1 2 4 - 300 E I 8 + 4 × 1 3 - 1800 E I

x - = 4 × 16 3 + 2 8 + 4 3 6

x - = 64 3 + 2 28 3 6

x - = 64 3 + 56 3 6

x - = 40 6 = 6,67   m

Mas esse é o valor a partir da origem, nós queremos a partir de C , logo:

x - = 12 - 6,67 = 5,33   m

Assim vamos ter que:

t C / A = θ C / A × x -

t C / A = - 1800 E I × 5,33

t C / A = - 9594 E I

Passo 6

Agora vamos calcular t B / A :

A área é igual a:

A = θ B / A = 1 2 8 - 300 E I

θ B / A = - 1200 E I

O centroide está localizado em:

x - = 8 × 1 3 = 8 3   m

Assim, vamos ter que:

t B / A = - 1200 E I × 8 3 = - 3200 E I

Passo 7

Agora é só juntar os dois termos:

t C = t C / A - 3 2 × t B / A

t C = - 9594 E I - 3 2 × - 3200 E I

t C = - 4794 E I

Resposta

t C = - 4794 E I

Exercício Resolvido #5

A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine a inclinação em A e o deslocamento em C . Considere que o apoio em A é um pino e em B , um rolete. E I é constante.

Passo 1

Vamos lá, galera, como essa viga tem um pino e um rolete como apoio, ambos vão ter um deslocamente nulo. Porém, existirá uma inclinação não nula nesses pontos.

O problema pede exatamente a inclinação em A (pino) e o deslocamento em C . Para isso vamos utilizar o nosso método das áreas.

Primeiro vamos construir o diagrama do momento fletor. Apartir desse diagrama a área será a inclinação e o momento da área o deslocamento. Então partiu?

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em x então:

A x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - 3 P + B y = 0

A y + B y = 3 P

Aqui a gente pode lembrar que se trata de um carregamento simétrico então vamos ter que A y = B y assim:

A y = B y = 1,5 P

Passo 3

Agora vamos colocar essas forças na viga:

Assim, o diagrama M / E I ficará da seguinte forma:

Passo 4

Pessoal, lembram que

θ C / A = θ A - θ C

Mas como estamos falando de uma viga simétrica então vamos ter que a inclinação no centro é nula.

θ C = 0

Logo,

θ C / A = θ A

Então basta calcular a área do gráfico entre C e A :

θ C / A = á r e a   d o   t r i â n g u l o + á r e a   d o   t r a p é z i o  

θ C / A = 1 2 a 1,5 P a E I + 1,5 P a E I + 2 P a E I a 2  

θ C / A = 0,75 P a 2 E I + 1,75 P a 2 E I  

θ C / A = 2,5 P a 2 E I

Passo 5

Agora, como o deslocamento em A é nulo, para achar o deslocamento em C basta fazer:

t C / A = m o m e n t o   d a   á r e a

primeiro vamos achar o centroide da figura, para isso vou dividir em um retângulo e dois triângulos:

x - = ∑ A x - ∑ A

x - = 1 2 a 1,5 P a E I × 2 a 3 + 1,5 P a E I a × a + a 2 + 1 2 0,5 P a E I a a + 2 a 3 1 2 a 1,5 P a E I + 1,5 P a E I a + 1 2 0,5 P a E I ( a )

Simplificando por P a 2 / E I :

x - = 1 2 1,5 × 2 a 3 + 1,5 × a + a 2 + 1 2 0,5 a + 2 a 3 1 2 1,5 + 1,5 + 1 2 0,5

x - = a 2 + 9 a 4 + 5 a 12 2,5

x - = 6 a 12 + 27 a 12 + 5 a 12 2,5 = 38 a 12 2,5

x - = 38 a 30 = 19 a 15

Desta forma vamos ter:

t C / A = x -   θ

t C / A = 19 a 15 × 2,5 P a 2 E I

t C / A = 19 P a 3 6 E I

Resposta

θ C / A = 2,5 P a 2 E I

t C / A = 19 P a 3 6 E I

Exercício Resolvido #6

O eixo é suportado por um mancal de apoio em A , que exerce somente reações verticais sobre o eixo, e por um mancal de enconsto em B , que exerce reações horizontais, bem como reações verticais sobre o eixo. Determine a inclinação do eixo nos mancais. E I é constante

Passo 1

Fala galera! Temos um probleminha aqui bem legal né, bem prático!? Vamos entender um pouco mais sobre esse problema, temos um eixo submetido a ação de duas forças que juntas causam um momento.

E esse momento aplicado ao eixo, assim como a maioria dos carregamentos irá causar uma deformação. Logo, o estudo da linha elástica faz total sentido aqui e o problema pede o valor da inclinação que esse momento causa. Então vamos utilizar a seguinte relação:

θ B - θ A = ∫ A B M E I   d x = Á r e a

Como podemos ver é necessário utilizar o momento fletor M então a primeira coisa que vamos fazer é montar o diagrama M / E I . Partiu?

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer então é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Fazendo o somatório das forças em x :

∑ F x = 0

- 400 + 400 + B x = 0

B x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y + B y = 0

A y = - B y

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A e considerando o sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

Meus amores aqui vai uma diquinha para vocês, como dito anteriormente a dupla de forças irá realizar um momento, na real essa dupla de forças é considerar um binário e para achar o momento desse binário é só multiplicar a força pela distância entre elas.

M b i n á r i o = 400 × 0,2 = 80   N . m

Caso você prefira fazer cada força separadamente pode fazer, ok? Esse binário não é nada demais e se não te ajudar você não precisa fazer =D

Voltando ao somatório dos momentos:

80 + B y × 0,6 = 0

B y = 133,33   N

Logo,

A y = - 133,33   N

Passo 3

Agora vamos colocar essas forças na viga:

E vamos obter o seguinte diagrama M / E I . (Aqui vale lembrar também que esse diagrama é idêntico ao diagrama só do momento fletor já que está dividido por uma constante).

Passo 4

Meus abiguinhos lindos, agora só falta aplicarmos a nossa equaçãozinha!!!

θ B - θ A = ∫ A B M E I   d x = Á r e a

Tá mas e aí quais pontos A e B eu vou escolher? Que tal pergarmos o ponto médio C e a extremidade A , assim a nossa equação vai ficar:

θ C - θ A = ∫ A C M E I   d x = Á r e a

Calculando a área entre A e C e utilizando as medidas em k N :

θ C - θ A = - 1 E I 0,300 × 0,0 40 2 = - 0,006 E I

Agora vamos fazer entre C e B e vamos obter:

θ B - θ C = 0,300 × 0,0 40 2 = 0,00 6 E I

Somando as duas equações a gente pode achar:

θ A = θ B

O que faz sentido já que é um problema simétrico, mas não nos fornece nenhum dado muito válido. Logo, vamos analisar o problema a partir das deflexões.

Passo 5

A equação da deflexão é:

y A / C = x - . θ A C

Assim vamos achar a deflexão relativa entre A e C :

y A / C = 1 3 × 0,300 . - 0,006 E I = - 0,00 06 E I

Mas essa é a deflexão relativa, a deflexão real entre eles é nula, a gente consegue ver isso com ajuda de um esboço. Aqui repara que vamos utilizar a aproximação t a n ( θ ) = θ , beleza? Podemos fazer isso porque quando falamos de linha elástica temos ângulos bem pequenininhos =D

Então a nossa equação é:

y A / C = θ A × 0,300

Dessa forma vamos ter:

θ A = - 0,00 06 0,3 . 1 E I = - 0,00 2 E I

Como ambos os ângulos são iguais então os dois valem:

θ A = θ B = - 0,002 E I

Resposta

θ A = θ B = - 0,002 E I

Exercício Resolvido #7

Para a viga com carregamento mostrado, determinar a declividade do ponto A . E I é constante.

Passo 1

Faaala, galerinha!! Esse problema pede para calcularmos a declividade tanto do ponto A quanto do ponto C . Se estamos falando de declividade então estamos falando de ângulo e logo vamos trabalhar com as áreas do diagrama M / E I , belezinha? Lembrando que:

θ B - θ A = ∫ A B M E I   d x = Á r e a

Aqui utilizamos A e B mas podem ser quaisquer dois pontos.

A primeira coisa que vamos fazer netão é montar o diagrama do momento fletor. Depois disso basta calcular a área (tomando alguns cuidados que vou te explicar mais pela frente) e um abraçooo.

Partiu?

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga assim como as forças concentradas de cada carregamento distribuído:

Pessoal, a gente nem precisou fazer muita conta levando em consideração que esse é um problema simétrico não é mesmo? Cada reação é igual à metade do carregamento.

Passo 3

Com o carregamento a gente pode desenhar o diagrama M / E I :

Passo 4

Pessoal, o problema pede a declividade do ponto A correto? Então faz sentido fazermos:

θ B / A = θ B - θ A

Onde B é o ponto central da barra. Mas agora vale a observação de que no ponto central a angulação é nula, logo:

θ B / A = - θ A

Basta calcular a área do gráfico entre B e A :

Galerinha, a gente agora só precisa lembrar que para uma parábola nós vamos calcular a área conforme a base e a altura:

A = 4 3 b a s e 2 ( a l t u r a )

Como queremos apenas metade da parábola vamos ter:

A = 2 3 b a s e 2 ( a l t u r a )

Logo vamos ter:

A = 2 3 L 2 w L 2 8

A = w L 3 2 4

Então no final vamos ter:

θ B / A = - w L 3 24

Incuímos o sinal negativo porque a área está abaixo do eixo x .

θ B / A = - θ A

- θ A = - w L 3 24

θ A = w L 3 24

Resposta

θ A = w L 3 24

Exercício Resolvido #8

Para a viga com carregamento mostrado, determinar a declividade relativa entre A e B . E I é constante.

Passo 1

Faaala, galerinha!! Esse problema pede para calcularmos a declividade relativa entre A e B . Se estamos falando de declividade então estamos falando de ângulo e logo vamos trabalhar com as áreas do diagrama M / E I , belezinha? Lembrando que:

θ B - θ A = ∫ A B M E I   d x = Á r e a

Aqui utilizamos A e B mas podem ser quaisquer dois pontos.

A primeira coisa que vamos fazer netão é montar o diagrama do momento fletor. Depois disso basta calcular a área (tomando alguns cuidados que vou te explicar mais pela frente) e um abraçooo.

Partiu?

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga assim como as forças concentradas de cada carregamento distribuído:

Como só existe uma força em x então:

A x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - w L + B y - w L = 0

A y + B y = 2 w L

E aplicando o somatório dos momentos fletores em A vamos ter:

∑ M A = 0

w L × L 2 - B y × L + w L × 5 L 4 = 0

B y = 7 w L 4

E consequentemente vamos ter:

A y = w L 4

Passo 3

Agora vamos ver o carregamento na viga:

O momento fletor será dado pelas seguintes equações:

  • x < L
  • M x = w L 4   .   x - w x 2 2

  • L ≤ x < 3 L 2

M x = w L 4   .   x + 7 w L 4 x - L + w L x - L 2 + 2 w x - L x - 5 L 4

Assim, o diagrama M / E I ficará da seguinte forma:

Passo 4

Pessoal, o problema pede a declividade relativa entre A e B correto? Então faz sentido fazermos:

θ B / A = θ B - θ A

Basta calcular a área do gráfico entre B e A :

Galerinhaaa, eu sei que o tamanho de L / 2 ficou menor do que L / 4 no desenho mas relavaaaa por favor kkkkk foi só um problema técnico...

θ B / A = - A 1 + A 2

Galerinha, a gente agora só precisa lembrar que para uma parábola tipo a A 1 nós vamos calcular a área conforme a base e a altura:

A = 4 3 b a s e 2 ( a l t u r a )

Logo vamos ter:

A 1 = 4 3 L 4 w L 2 14

A 1 = w L 3 42

Já para a parábola referernte à A 2 nós vamos ter que a área é dada também em função de sua base e sua altura mas da forma:

A = ( b a s e ) ( a l t u r a ) 3

A 2 = L 2 3 w L 2 4 3 = w L 3 8

Então no final vamos ter:

θ B / A = - A 1 + A 2

θ B / A = - w L 3 42 + w L 3 8

θ B / A = 17 w L 3 168

Resposta

θ B / A = 17 w L 3 168

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Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A inclinação do ponto A para a Viga e carregamento do P r o b . 9.3 7 .
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A intensidade do máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9.3 7 .
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A inclinação do ponto A para a Viga e carregamento do P r o b . 9.3 9 .
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A localização do ponto que ocorre o máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9 . 40 .
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A localização do ponto que ocorre o máximo para a Viga e carregamento do P r o b . 9.3 6 .