Teoria

E aí, galerinha da pesada, tranquilão?

Tenho certeza que sim, ainda mais que estão estudando resistência dos materiais HAHAHA.

Mas tenho uma notícia boa para vocês, depois de aprender este conteúdo aqui vocês nunca mais vão resolver uma questão da forma que faziam antes. Acredita nimim!!!

Se liga, vou dar um exemplo. Imagina que a gente quer calcular o momento fletor dessa viga aqui:

Imaginaa.. Ia ser um saco!!! A gente teria que fazer aí uns 5 cortes para dividir em várias seções e analisar a força cortante e o momento fletor em cada uma!!!

Mas eu vou te ensinar um jeito de fazer isso de uma forma direta, sem ficar cortando em várias seções!! Esse truque mágico enviado por deus são as funções de descontinuidade!

A carinha de uma função de descontinuidade

Uma função de descontinuidade bem simples pode ser escrita como:

f x = x - a

Essa simbologia   é utilizada para dizer que quando x < a o termo dentre de   fica nulo e quando x ≥ a esse termo fica igual ao que realmente tem lá dentro.

Vamos pegar o exemplo anterior pra facilitar um pouco mais. Se a gente tem a seguinte função de descontinuidade ou ela vai ser igual a z e r o ou igual a ( x - a ) :

f x = x - a = 0 ,     x < a ( x - a ) ,     x ≥ a

Perceba que ela é descontínua, olha que coincidência!!!

Além disso a gente pode colocar expoentes para encontrar outros valores, igual ao exemplo abaixo.

f x = x - a 2 = 0 ,     x < a x - a 2 ,     x ≥ a

E na prática?

Galera, vamos pegar o nosso exemplo lá do início mas vamos deixar um pouco mais simples. Vamos representar apenas o carregamento distribuído. Peguei leve hein =P

O carregamento distribuído vale:

w = 10   k N / m

Vamos entender como esse carregamento funciona, antes de x = 5 m ele não existe e depois de x = 5 m ele existe e é constante e igual a 10   k N / m .

Então quando representamos numa função de descontinuidade vai ficar assim

w x = 10 x - 5 0 = 0 ,     x < 5 10 ,     x ≥ 5

Viu como o fato de estar elevado a zero faz toda a diferença? Por causa deste motivo que o carregamento fica constante, legal né?

Forças e momentos

A gente acabou de ver como um carregamento uniforme pode ser representado. Agora vamos ver para uma força ou momento. Como estes dois elementos atuam pontualmente na viga, vamos chamá-los de funções de singularidade. Mas o princípio é o mesmo.

Imaginem que queremos representar agora o momento de 15   k N / m atuante na viga.

Esse momento atua no ponto x = 4 m e somente nesse ponto, portanto vamos representar como:

w x = 15 x - 4 - 2 = 0 ,     x ≠ 4 15 ,     x = 4

Reparem que representamos o momento como uma carga vezes a distância elevado a - 2 .

w = M × m - 2

k N m = k N . m × m - 2

Pessoal, a gente sempre vai colocar a função como um carregamento!!!

Para a força vai ser quase a mesma coisa. Então se a gente for representar as forças da nossa viga vamos ter:

w x = 5 x - 1 - 1 = 0 ,     x ≠ 1 5 ,     x = 1

w x = 2 x - 3 - 1 = 0 ,     x ≠ 3 2 ,     x = 3

No caso das forças a gente tem que elevar a - 1 :

w = F × m - 1

k N m = k N . m × m - 1

Representando como uma carga

Agora que a gente representou tudo como uma carga vamos ter:

w x = 10 x - 5 0

w x = 15 x - 4 - 2

w x = 5 x - 1 - 1

w x = 2 x - 3 - 1

Pessoal, agora que tudo está em w podemos somar tudo e obter:

w x = 10 x - 5 0 + 5 x - 1 - 1 + 2 x - 3 - 1 + 15 x - 4 - 2

E essa função será válida para toda a viga!! A única coisa que faltou para que a representação fique perfeita é considerar a força do apoio em x = 0 . Para ficar certinho a gente pode colocar um valor igual a 20   k N , por exemplo, e agora a representação final da carga será de:

w x = 20 x - 0 - 1 + 10 x - 5 0 + 5 x - 1 - 1 + 2 x - 3 - 1 + 15 x - 4 - 2

E a valor do apoio final? Não precisa! Porque como ele está lá no final sempre vai ser considerado zero. Pode colocar pra conferir!

Achando a força cortante e o momento fletor

Pessoal, se vocês estiverem sentindo alguma dificuldade fiquem calmos porque quando formos para os exercícios vai cair a ficha de como faz e vocês vão estar fazendo num instante!

Qual a vantagem de utilizar uma equação grandona ao invés de várias pequenas? A vantagem é que é só integrar a função w ( x ) e vamos achar a força cortante V ( x ) depois é só integrar de novo e vamos achar o momento!

V x = - ∫ w x   d x

Aqui tem que lembrar do sinal hein! Porque a força cortante tem sentido oposto da carga.

M x = ∫ V x   d x

Então se a gente quiser achar o momento de uma viga é só colocar tudo como funções de descontinuidade em w ( x ) e integrar duas vezes, sem esquecer do sinal negativo na primeira integral. Por exemplo, se tivermos a função:

w x = 20 x - 0 - 1 + 10 x - 5 0 + 30 x - 6 1

A força cortante vai ser dada por:

V x = - ∫ 20 x - 0 - 1 + 10 x - 5 0 + 30 x - 6 1   d x

V x = - 20 x - 0 0 + 10 x - 5 1 + 15 x - 6 2

obs: Repare que quando o expoente é menor ou igual a 0 então a gente só aumenta uma unidade no expoente e deixa o resto todo igualzinho! Quando e expoente é maior do que 1 então fazemos normal, como se fosse um parêntesis.

Considerando o sinal de menos:

V x = - 20 x - 0 0 - 10 x - 5 1 - 15 x - 6 2

Para achar o momento: M x = ∫ V x   d x

M x = ∫ - 20 x - 0 0 - 10 x - 5 1 - 15 x - 6 2   d x

M x = - 20 x - 0 1 - 5 x - 5 2 - 5 x - 6 3

Viu como fica rápido?

Tabela de cargas, forças cortantes e momentos fletores

Pessoal, vou apresentar vocês uma tabelinha que vai facilitar o entendimento. Essa tabela é um extra, ou seja, com tudo que vocês já viram até aqui já dá para resolver as questões. De qualquer forma vai auxiliar a compreender um pouco melhor essas integrais:

Que tal irmos para uns exercícios pra praticar!?

E na prática?

Forças e momentos

Representando como uma carga

Achando a força cortante e o momento fletor

Tabela de cargas, forças cortantes e momentos fletores

Exercícios de Livros Relacionados