Função de descontinuidade
Teoria
E aí, galerinha da pesada, tranquilão?
Tenho certeza que sim, ainda mais que estão estudando resistência dos materiais HAHAHA.
Mas tenho uma notícia boa para vocês, depois de aprender este conteúdo aqui vocês nunca mais vão resolver uma questão da forma que faziam antes. Acredita nimim!!!
Se liga, vou dar um exemplo. Imagina que a gente quer calcular o momento fletor dessa viga aqui:
Imaginaa.. Ia ser um saco!!! A gente teria que fazer aí uns 5 cortes para dividir em várias seções e analisar a força cortante e o momento fletor em cada uma!!!
Mas eu vou te ensinar um jeito de fazer isso de uma forma direta, sem ficar cortando em várias seções!! Esse truque mágico enviado por deus são as funções de descontinuidade!
A carinha de uma função de descontinuidade
Uma função de descontinuidade bem simples pode ser escrita como:
Essa simbologia é utilizada para dizer que quando o termo dentre de fica nulo e quando esse termo fica igual ao que realmente tem lá dentro.
Vamos pegar o exemplo anterior pra facilitar um pouco mais. Se a gente tem a seguinte função de descontinuidade ou ela vai ser igual a ou igual a :
Perceba que ela é descontínua, olha que coincidência!!!
Além disso a gente pode colocar expoentes para encontrar outros valores, igual ao exemplo abaixo.
E na prática?
Galera, vamos pegar o nosso exemplo lá do início mas vamos deixar um pouco mais simples. Vamos representar apenas o carregamento distribuído. Peguei leve hein =P
O carregamento distribuído vale:
Vamos entender como esse carregamento funciona, antes de ele não existe e depois de ele existe e é constante e igual a .
Então quando representamos numa função de descontinuidade vai ficar assim
Viu como o fato de estar elevado a zero faz toda a diferença? Por causa deste motivo que o carregamento fica constante, legal né?
Forças e momentos
A gente acabou de ver como um carregamento uniforme pode ser representado. Agora vamos ver para uma força ou momento. Como estes dois elementos atuam pontualmente na viga, vamos chamá-los de funções de singularidade. Mas o princípio é o mesmo.
Imaginem que queremos representar agora o momento de atuante na viga.
Esse momento atua no ponto e somente nesse ponto, portanto vamos representar como:
Reparem que representamos o momento como uma carga vezes a distância elevado a .
Pessoal, a gente sempre vai colocar a função como um carregamento!!!
Para a força vai ser quase a mesma coisa. Então se a gente for representar as forças da nossa viga vamos ter:
No caso das forças a gente tem que elevar a :
Representando como uma carga
Agora que a gente representou tudo como uma carga vamos ter:
Pessoal, agora que tudo está em podemos somar tudo e obter:
E essa função será válida para toda a viga!! A única coisa que faltou para que a representação fique perfeita é considerar a força do apoio em . Para ficar certinho a gente pode colocar um valor igual a , por exemplo, e agora a representação final da carga será de:
E a valor do apoio final? Não precisa! Porque como ele está lá no final sempre vai ser considerado zero. Pode colocar pra conferir!
Achando a força cortante e o momento fletor
Pessoal, se vocês estiverem sentindo alguma dificuldade fiquem calmos porque quando formos para os exercícios vai cair a ficha de como faz e vocês vão estar fazendo num instante!
Qual a vantagem de utilizar uma equação grandona ao invés de várias pequenas? A vantagem é que é só integrar a função e vamos achar a força cortante depois é só integrar de novo e vamos achar o momento!
Aqui tem que lembrar do sinal hein! Porque a força cortante tem sentido oposto da carga.
Então se a gente quiser achar o momento de uma viga é só colocar tudo como funções de descontinuidade em e integrar duas vezes, sem esquecer do sinal negativo na primeira integral. Por exemplo, se tivermos a função:
A força cortante vai ser dada por:
obs: Repare que quando o expoente é menor ou igual a 0 então a gente só aumenta uma unidade no expoente e deixa o resto todo igualzinho! Quando e expoente é maior do que então fazemos normal, como se fosse um parêntesis.
Considerando o sinal de menos:
Para achar o momento:
Viu como fica rápido?
Tabela de cargas, forças cortantes e momentos fletores
Pessoal, vou apresentar vocês uma tabelinha que vai facilitar o entendimento. Essa tabela é um extra, ou seja, com tudo que vocês já viram até aqui já dá para resolver as questões. De qualquer forma vai auxiliar a compreender um pouco melhor essas integrais:
Que tal irmos para uns exercícios pra praticar!?
E na prática?
Forças e momentos
Representando como uma carga
Achando a força cortante e o momento fletor
Tabela de cargas, forças cortantes e momentos fletores
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria
Utilizando as funções de descontinuidade e de singularidade encontre o momento fletor da seguinte viga:
Passo 1
Bom pessoal vamos aplicar o que vimos na teoria e achar o momento fletor utilizando as equações de descontinuidade. A primeira coisa que temos de fazer é achar todas as forças atuantes na barra, então temos de achar as reações nos apoios.
Feito isso vamos colocar tudo em função de cargas e integrar duas vezes para achar o momento fletor.
Passo 2
Vamos achar as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:
Como há apenas uma força em vamos ter que:
Fazendo o somatório de forças no eixo :
Agora vamos aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto considerando o sentido anti-horário como positivo:
Voltando ao cálculo:
Substituindo na primeira equação vamos ter:
Passo 3
Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de . Vamos olhar o desenho novamente:
As forças aparecem como:
Repare que a gente tem que considerar a primeira força de apoio mas não a última!
O momento puro aparece como:
Somando os dois termos:
Passo 4
Agora é só integrar uma vez para achar a força cortante.
A gente só tem que lembrar que quando o expoente é menor ou igual a zero a gente só precisa aumentar o expoente em uma unidade positiva! Caso o expoente seja maior do que zero então fazemos a integral normalmente.
Ficou bem grandinho né? haha
Mas é tranquilo, vem comigo!!
E agora para achar o momento fletor é só integrar novamente.
Pronto! temos a nossa resposta do problema!
Ajuda muito não é mesmo? Não precisamos fazer um momento de desenhos e cálculos...
Passo 5
Só por curiosidade vamos calcular qual seria o momento fletor em .
Para fazer isso a gente elimina os termos porque e . Daí o que sobra a gente coloca em parêntesis simples, só pra mostrar que eles não vão ser zerados:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Resistência dos Materiais, 3ª ed. São Paulo: MAKRON BOOKS, 1995, pp. 844. Exercício 8 – 2 (Adaptada)
Encontre a equação da linha elástica para a viga abaixo. Considere constante.
Passo 1
Galera essa questão já começa a misturar os tópicos de função de descontinuidade com linha elástica. Então vamos lembrar que o cálculo da linha elástica é feito como:
Vamos achar a linha elástica utilizando esse tipo de função então e calcular a deflexão e a inclinação. Para isso a gente precisa encontrar primeiro o momento fletor e, portanto, as reações. Vamos fazer isso tudo utilizando o conceito de função de descontinuidade que aprendemos =D
Passo 2
Vamos começar achando as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:
Como há apenas momentos na viga então vamos ter que:
Aplicando o somatório dos momentos vamos ter:
Passo 3
Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de . Vamos olhar o desenho novamente:
Os momentos aparecem da seguinte forma, lembrando que aqui temos de considerar o sentido anti-horário positivo necessariamente:
Passo 4
Agora é só integrar uma vez para achar a força cortante.
A gente só tem que lembrar que quando o expoente é menor ou igual a zero a gente só precisa aumentar o expoente em uma unidade positiva! Caso o expoente seja maior do que zero então fazemos a integral normalmente.
Vamos lá!
E agora para achar o momento fletor é só integrar novamente.
Pronto! temos a nossa resposta do problema! Perceba que todos os expoentes são iguais a zero, o que significa que nosso momento fletor varia em degrauzinhos. Isso faz total sentido com o nosso carregamento, que é formado por momentos puros.
Passo 5
Mas o problema pede a equação da linha elástica então nós vamos ter que aplicar a seguinte equação:
Substituindo:
Integrando a primeira vez:
Para descobrir o valor de a gente tem que lembrar que , ou seja, essa nossa equação é da inclinação! Como o ponto está engastado então vamos ter , assim:
Repare aqui que muitos dos termos zeraram, não porque , mas sim por causa da própria natureza da função de descontinuidade.
Agora vamos integrar pela segunda vez:
Agora vamos aplicar o mesmo conceito para achar , como em temos um engaste então a deflexão nesse ponto também é zero, logo:
DICA: Para saber quando uma função de descontinuidade deve ser negligenciada, basta lembrar que o termo dentro dos parêntesis bonitinhos nunca pode ser menor do que zero.
Então finalmente vamos ter a equação da linha elástica:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Utilizando as funções de descontinuidade e de singularidade encontre o momento fletor da seguinte viga:
Passo 1
Bom pessoal vamos aplicar o que vimos na teoria e achar o momento fletor utilizando as equações de descontinuidade. A primeira coisa que temos de fazer é achar todas as forças atuantes na barra, então temos de achar as reações nos apoios.
Feito isso vamos colocar tudo em função de cargas e integrar duas vezes para achar o momento fletor.
Passo 2
Vamos achar as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:
Como há apenas uma força em vamos ter que:
Fazendo o somatório de forças no eixo :
A força exercida pela carregamento uniforme é dada por:
Substituindo na equação:
Agora vamos aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto considerando o sentido anti-horário como positivo:
Lembrando que o ponto de atuação da força exercida pelo carregamento uniforme se encontra na metade do carregamento. Fica assim:
Voltando ao cálculo:
Substituindo na primeira equação vamos ter:
Passo 3
Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de . Vamos olhar o desenho novamente:
As forças aparecem como:
obs: A força não aparece porque está na extremidade oposta, não precisamos considerar ela.
A carga uniforme é dada por:
Somando os dois termos:
Passo 4
Agora é só integrar uma vez para achar a força cortante.
A gente só tem que lembrar que quando o expoente é menor ou igual a zero a gente só precisa aumentar o expoente em uma unidade positiva! Caso o expoente seja maior do que zero então fazemos a integral normalmente.
E agora para achar o momento fletor é só integrar novamente.
Pronto! temos a nossa resposta do problema!
Ajuda muito não é mesmo? Não precisamos fazer um momento de desenhos e cálculos...
Passo 5
Galera, sei que já temos o resultado final. Mas imagina que o problema pede para calcularmos o momento fletor no ponto .
Nesse caso como e a gente considera esses valores normalmente (e troca por parêntesis só pra frisar que eles vão ser considerados. E elimina o o termo porque . Vamos ficar com:
Resposta
Exercício Resolvido #4
R. C. Hibbeler, Resistência dos materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson, 2009, pp. 441. Problema 12.42
O eixo suporta as cargas das duas polias mostradas na figura. Determine a equação da linha elática. Os mancais em e exercem somente reações verticais sobre o eixo. constante.
Passo 1
Bom pessoal vamos aplicar o que vimos na teoria e achar o momento fletor utilizando as equações de descontinuidade, para depois aplicarmos a equação da linha elástica:
A primeira coisa que temos de fazer é achar todas as forças atuantes na barra, então temos de achar as reações nos apoios. Feito isso vamos colocar tudo em função de cargas e integrar duas vezes para achar o momento fletor.
Passo 2
Vamos achar as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:
Agora vamos ser bem malandrinhos e aplicar primeiro o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto :
E portanto,
Passo 3
Agora temos que colocar as forças como funções de . Vamos olhar o desenho novamente:
As forças aparecem como:
Pessoal, aqui (e em qualquer outro exercício) não faz diferença colocar ou não a última força. Isso porque nunca vai ser maior do que o último ponto, portanto se a última força estiver na extremidade ela não faz mais diferença no problema.
Passo 4
Agora é só integrar uma vez para achar a força cortante.
A gente só tem que lembrar que quando o expoente é menor ou igual a zero a gente só precisa aumentar o expoente em uma unidade positiva! Caso o expoente seja maior do que zero então fazemos a integral normalmente.
Ficou bem grandinho né? haha
Mas é tranquilo, vem comigo!!
E agora para achar o momento fletor é só integrar novamente.
Pronto! temos a nossa resposta do problema!
Ajuda muito não é mesmo? Não precisamos fazer um momento de desenhos e cálculos...
Passo 5
Como o problema pediu a linhas elástica então a gente deve aplicar a função do momento que encontramos na equação da linha elástica:
Podemos escrever da seguinte forma:
Substituindo:
Vamos integrar a primeira vez:
Agora podemos integrar novamente:
E pronto, achamos a nossa equação da linha elástica mas ainda falta achar as constantes e .
Passo 6
Para achar as constantes a gente só precisa lembrar que os mancais impedem a deflexão, portanto tanto em quanto nós vamos ter . Sendo assim, podemos substituir:
Para nós vamos ter:
Lembre-se que vários termos zeraram porque estamos falando de uma função de descontinuidade, logo os termos e vão zerar!
Para nós vamos ter:
Com isso a nossa equação da linha elástica fica da forma:
Resposta
Exercício Resolvido #5
R. C. Hibbeler, Resistência dos materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson, 2009, pp. 440. Problema 12.39
A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine o deslocamento em e a inclinação em . é constante.
Passo 1
Galera essa questão já começa a misturar os tópicos de função de descontinuidade com linha elástica. Então vamos lembrar que o cálculo da linha elástica é feito como:
Vamos achar a linha elástica utilizando esse tipo de função então e calcular a deflexão e a inclinação!!
Passo 2
Vamos começar achando as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:
Fazendo o somatório de forças no eixo :
A força exercida pela carregamento uniforme é dada por:
Substituindo na equação:
Agora vamos aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto considerando o sentido anti-horário como positivo:
Lembrando que o ponto de atuação da força exercida pelo carregamento uniforme se encontra na metade do carregamento. Fica assim:
Voltando ao cálculo:
Substituindo na primeira equação vamos ter:
Passo 3
Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de . Vamos olhar o desenho novamente:
As forças aparecem como:
A carga uniforme seria dada por:
Mas perceba que se tivéssemos esse formato estaríamos considerando que essa carga atuaria desde o ponto até e não é isso que acontece!
Existe, portanto, uma falha na aplicação das funções de descontinuidade que se demonstra quando a carga não chega até o final da viga. Mas podemos resolver isso com uma combinação de cargas. Veja o esquema abaixo:
Repara que até temos apenas a carga de e depois temos uma carga de e uma de , assim, elas se anulam e voltamos a ter o carregamento que a questão pede. Portanto, a carga será dada por:
Somando os dois termos:
Passo 4
Agora vamos comçar a integrar.
A gente só tem que lembrar que quando o expoente é menor ou igual a zero a gente só precisa aumentar o expoente em uma unidade positiva! Caso o expoente seja maior do que zero então fazemos a integral normalmente.
E agora para achar o momento fletor é só integrar novamente.
Temos o momento fletor, agora é só aplicar na equação da linha elástica
Passo 5
A equação da linha elástica () é:
Então vamos integrar uma vez:
Integrando novamente:
Pronto! Achamos a equação da linha elástica, mas não temos as constantes e . Para acha-las temos de utilizar as condições de contorno!
Passo 6
Como temos um pino de um lato e um rolete de outro então em ambos os lados (tanto para quanto para ) vamos ter deflexão nula. Sendo assim vamos aplicar as duas condições à nossa equação:
- em .
- em .
Antes da gente sair substituindo em tudo a gente precisa excluir os termos que não fazem parte da nossa equação. Lembrem que é uma função de descontinuidade
Pronto! Agora substituindo e :
Como estamos na extremidade oposta não precisamos excluir ninguém.
Substituindo e
Então a nossa linha elástica é dada por:
Passo 7
Pessoal agora é só substituir , lembrando que vamos eliminar alguns termos:
Passo 8
Para a inclinação vamos ter que substituir em:
Lembrando que:
Substituindo
Resposta
Exercício Resolvido #6
Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Resistência dos Materiais, 3ª ed. São Paulo: MAKRON BOOKS, 1995, pp. 847. Exercício 8 – 21 (Adaptada)
A viga suporta uma carga distribuída e duas cargas concentradas, cada uma com intensidade . Sabendo-se que a viga é feita de uma barra de alumínio de diâmetro e que , e , determinar: a equação que define o carregamento utilizando funções de descontinuidade.
Passo 1
Galera essa questão já começa a misturar os tópicos de função de descontinuidade com linha elástica. Então vamos lembrar que o cálculo da linha elástica é feito como:
Vamos achar a linha elástica utilizando esse tipo de função então e calcular a deflexão e a inclinação. Para isso a gente precisa encontrar primeiro o momento fletor e, portanto, as reações. Vamos fazer isso tudo utilizando o conceito de função de descontinuidade que aprendemos =D
Passo 2
Vamos começar achando as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:
Como não há carga no eixo horizontal então vamos ter que:
Aplicando o somatório dos momentos em vamos ter:
Lembre-se que a força concentrada relativa à carga distribuída atua na metade do carregamento. Aqui vale notar também que vamos utilizar tudo em , beleza?
E aplicando o somatório das forças em vamos ter:
Passo 3
Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de . Vamos olhar o desenho novamente:
As forças aparecem como:
obs: A força da última extremidade pode ser ignorada, lembra disso!
A carga uniforme deste problema não vai até o final da viga, logo devemos representar como uma combinação de cargas:
Então vamos ter:
Pessoal, o certo seria somar as forças e carregamentos e obter um grandão, mas como uma equação muito grande fica ruim de ser lida aqui no site então vou deixar esses termos separados mesmo, ok?
Logo, a equção que queremos é:
O motivo dos ficarem separados é unicamente porque não cabem aqui na nossa telinha beleza?
Resposta
Exercício Resolvido #7
R. C. Hibbeler, Resistência dos materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson, 2009, pp. 441. Problema 12.42
A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine as equações da inclinação e da linha elástica. é constante.
Passo 1
Galera essa questão já começa a misturar os tópicos de função de descontinuidade com linha elástica. Então vamos lembrar que o cálculo da linha elástica é feito como:
A gente pode escrever ainda uma equação da linha elástica diretamente com a carga:
Então nós vamos achar a linha elástica utilizando esse tipo de função! Partiu?
Passo 2
Vamos começar achando as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:
Como só existe uma força no eixo então vamos ter que:
Fazendo o somatório de forças no eixo :
A força exercida pela carregamento uniforme é dada por:
Substituindo na equação:
Agora vamos aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto considerando o sentido anti-horário como positivo:
Lembrando que o ponto de atuação da força exercida pelo carregamento uniforme se encontra na metade do carregamento. Fica assim:
Voltando ao cálculo:
Substituindo na primeira equação vamos ter:
Passo 3
Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de . Vamos olhar o desenho novamente:
As forças aparecem como:
O momento como:
Mas aqui repare que quando então o carregamento é nulo. Sendo assim não faz muito diferença colocar esse termo. Resumindo, o último termo não precisa ser colocada na equação.
A carga uniforme seria dada por:
Mas perceba que se tivéssemos esse formato estaríamos considerando que essa carga atuaria desde o ponto até e não é isso que acontece!
Existe, portanto, uma falha na aplicação das funções de descontinuidade que se demonstra quando a carga não chega até o final da viga. Mas podemos resolver isso com uma combinação de cargas. Veja o esquema abaixo:
Repara que até temos apenas a carga de e depois temos uma carga de e uma de , assim, elas se anulam e voltamos a ter o carregamento que a questão pede. Portanto, a carga será dada por:
Somando os dois termos (da força e do carregamento uniforme):
Passo 4
Agora que temos o carregamento é só aplicar a equação:
Vamos integrar pela primeira vez:
Agora fazendo a segunda derivada:
A terceira derivada:
A quarta derivada:
Agora temos de achar os valores de e .
Galera, é importante lembrar que essas constantes só aparecem nas duas últimas integrações ok? As duas primeira integrações representam a força cortante e o momento fletor, por isso não é necessário colocar as constantes de integração!
Passo 5
Agora vamos substituir as condições de contorno, como é um pino e uma rótula vamos ter em ambos. Começando pelo pino:
Como no pino e vamos ter:
Agora para a rótula e :
Portanto a nossa equação da linha elástica vale:
E da inclinação:
Como:
Resposta
Exercício Resolvido #8
R. C. Hibbeler, Resistência dos materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson, 2009, pp. 441. Problema 12.48
A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine a equação da linha elástica.
Passo 1
Galera essa questão já começa a misturar os tópicos de função de descontinuidade com linha elástica. Então vamos lembrar que o cálculo da linha elástica é feito como:
A gente pode escrever ainda uma equação da linha elástica diretamente com a carga:
Então nós vamos achar a linha elástica utilizando esse tipo de função! Partiu?
Passo 2
Vamos começar achando as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:
Fazendo o somatório de forças no eixo :
Aqui vamos considerar um carregamento uniforme de mais um triangular que começa com e termina com .
Assim, a força do carregamento uniforme será dada por:
A força do carregamento triangular vai ser igual a:
Substituindo na equação:
Agora vamos aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto considerando o sentido anti-horário como positivo:
Lembrando que o ponto de atuação da força exercida pelo carregamento uniforme se encontra na metade do carregamento e do triangular em dois terços da base (a partir da ponta).
No nosso caso fica assim:
Voltando ao cálculo:
Substituindo na primeira equação vamos ter:
Passo 3
Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de . Vamos olhar o desenho novamente:
As forças aparecem como:
Lembre-se que o último termo pode ser desprezado!
Para o carregamento distribuído vamos ter:
Somando os dois termos:
Passo 4
Agora que temos o carregamento é só aplicar a equação:
Vamos integrar pela primeira vez:
Agora fazendo a segunda derivada:
A terceira derivada:
A quarta derivada:
Agora temos de achar os valores de e .
Galera, é importante lembrar que essas constantes só aparecem nas duas últimas integrações ok? As duas primeira integrações representam a força cortante e o momento fletor, por isso não é necessário colocar as constantes de integração!
Passo 5
Agora vamos substituir as condições de contorno, como é um pino e uma rótula vamos ter em ambos. Começando pelo pino:
Como no pino e vamos ter:
Agora para a rótula e :
Resolvendo o sistema:
Portanto a nossa equação da linha elástica vale: