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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 47

14.47. Duas pequenas esferas A e B, de massas 2,5 kg e 1 kg, respectivamente, estão unidas por uma barra rígida de massa desprezível. As duas esferas estão em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito quando A é subitamente impulsionada com velocidade v0 (3 m/s)i. Determine (a) a quantidade de movimento linear do sistema e sua quantidade de movimento angular em relação a seu centro de massa G, (b) as velocidades de A e B após a barra AB ter girado 180°.

Passo 1

Vamos lá! A gente sabe que A B - = 200   m m , se a gente imaginar que existe um ponto G que está no centro de massa, podemos fazer

A G - + B G - = 200   m m

A esfera A tem massa de 2,5   k g e a esfera B tem massa de 1   k g , a barra rígida tem massa desprezível, então podemos fazer:

A G - → 2,5   k g

B G - → 1   k g

B G - ⋅ 1 = A G - ⋅ 2,5

E

3,5   A G - = 200

Então

A G - = 57,14   m m

B G - = 142,86   m m

Passo 2

No começo, quando a massa A é impulsionada, o momento do sistema é

L i = m A v 0

L i = 2,5 ⋅ 3   i ^ = 7,5   i ^ J

E o momento angular inicial em relação ao centro de massa é

H G = A G - × m A v 0 = 57,14   j ^ × 3   i ^

Então

H G = - 114,28   k ^   m ⋅ k g ⋅ s

Passo 3

Depois disso acontece a rotação de 180°. Agora podemos usar conservação de momento linear

L i = m A v A ' + m B v B '

7,5 = 2,5 ⋅ v A ' + 1 ⋅ v B '

Então

2,5 v A ' + v B ' = 7 , 5

Agora podemos usar conservação de momento em relação ao novo centro de massa.

H G = - r A m A v A ' + r B m B v B '

- 114,28 = - 57,14 2,5 v A ' + 142,86 1 v B '

Então

142,85   v A ' + 142,86   v B ' = - 114,28

Agora temos duas equações e duas incógnitas. Bom, de acordo com a equação do momento linear temos

v B ' = 7,5 - 2,5   v A '

Vamos substituir isso na segunda equação

142,85   v A ' + 142,86   ( 7,5 - 2,5   v A ' ) = - 114,28

- 214,3   v A ' + 1071,45 = - 114,28

Logo

v A ' = 5,53   m / s

Então

v B ' = 7,5 - 2,5 5,53 = - 6,3525 m s

Resposta

a : L i = 7,5   i ^ J ;   H G = - 114,28   k ^   m ⋅ k g ⋅ s b :   v A ' = 5,53 m s ;   v B ' = - 6,3525 m s

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