50. Para erguer um caixote pesado, um homem utiliza uma talha presa embaixo de uma viga I pelo gancho B . Sabendo que o homem aplica uma força de 195   N a extremidade A da corda e que o momento dessa força em relação ao eixo y é 132   N ⋅ m , determine a distância a :

Passo 1

Bom! A primeira coisa que temos que fazer é determinar a distância B A → em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ ; afinal é nesse segmento que o homem está aplicando a força. Para isso, basta observar a figura. Veremos que o ponto B está nas coordenadas ( 0,0 ; 4,8 ; a ) e o ponto A encontra-se nas coordenadas ( 2,2 ; 1,6 ; 0 ) . Com isso, para achar B A → basta fazer a diferença entre as coordenadas de A e as coordenadas de B :

  B A → = 2,2 - 0 i ^ + 1,6 - 4,8 j ^ + ( 0 - a ) k ^

B A → = 2,2 i ^ - 3,2 j ^ - a k ^

E para achar o módulo, B A , basta tirar a raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes:

B A = ( 2,2 ) 2 + - 3,2 2 + - a 2  

B A = 15,08 + a 2

Passo 2

Achada o nosso vetor B A →   vamos obter o quanto vale a força de tração T → B A também em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ . Para fazer isso basta multiplicar a força pela distância B A → vetorial e dividir tudo pelo módulo de B A :

T → B A = T B A ⋅ B A → B A

T → B A = T B A ⋅ 2,2 i ^ - 3,2 j ^ - a k ^ 15,08 + a 2

Passo 3

A questão já nos fornece o momento em relação aos eixos y da força exercida pelo homem na extremidade A da corda. Ora bolas!! Vamos relacionar esses momento já dado com a expressão geral do momento M → D .

Para fazer isso, dado que temos T → B A , só falta agora o vetor posição r → A / D   que parte da origem de aplicação da força O   até a linha de ação inicial da força em A . Essa belezinha é o vetor O A → !! Sabendo que A tem as coordenadas ( 2,2 ; 1,6 ; 0 ) :

O A → = ( 2,2   m ) i ^ + 1,6   m j ^ + ( 0,0   m )   k ^

Como temos tudo que precisamos; só nos resta aplicar a definição de momento:

M → D = r → A / D × T → B A

Onde temos que:

r → A / D = O A → = ( 2,2   m ) i ^ + 1,6   m j ^ + ( 0,0   m )   k ^

T → B A = T B A ⋅ 2,2 i ^ - 3,2 j ^ - a k ^ 15,08 + a 2

Vamos então, fazer o produto vetorial usando o determinante matricial:

M → D = r → A / D × T → B A

M → D = det ⁡ i ^ j ^ k ^ x A y A z A T B A , x T B A , y T B A , z

M → D = T BA 15,08 + a 2 ⋅ det ⁡ i ^ j ^ k ^ 2,2 1,6 0,0 2,2 - 3,2 - a

M → D = T BA 15,08 + a 2 ⋅ ⁡ i ^ j ^ k ^ 0,30 0,71 0,00 - 42 36 - 36       i ^ j ^ 0,30 0,71 - 42 36      

M → D = T B A 15,08 + a 2 ⋅ - 1,6 a i ^ + 2,2 a j ^ - 10,56 k ^   N ⋅ m

M → D = - 1,6 a T B A 15,08 + a 2 i ^ + 2,2 a T B A 15,08 + a 2 j ^ - 10,56 T B A 15,08 + a 2 k ^   N ⋅ m

Esse é o nosso momento resultante!!! Para obter os momentos em cada eixo; basta associar cada componente do momento com seu versor ao respectivo eixo coordenado; ( i ^ ) para o eixo x ; ( j ^ ) para o eixo y e ( k ^ ) para o eixo z :

M x = - 1,6 a T B A 15,08 + a 2   N ⋅ m

M y = 2,2 a T B A 15,08 + a 2   N ⋅ m

M z = - 10,56 T B A 15,08 + a 2   N ⋅ m

E como sabemos que o momento em relação ao eixo y da força exercida pela porção A B da corda é de 132   N ⋅ m e que a força exercida T B A , é de 195   N ; basta usar a seguinte relação a seguir:

M y = 2,2 a T B A 15,08 + a 2   N ⋅ m

132   N ⋅ m = 2,2 a 195   N 15,08 + a 2   N ⋅ m

132 ⋅ 15,08 + a 2 = 429 a

15,08 + a 2 = 429 132 a

15,08 + a 2 = 429 132 a 2

15,08 + a 2 = 10,5625 a 2

9 , 5625 a 2 = 15,08

a = 15,08 9,5625

a ≅ 1,256   m

Resposta

a ≅ 1,256   m

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