Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 51
51. Um pequeno barco é suportado por dois guindastes, um dos quais é mostrado na figura. Sabendo que o momento sobre o eixo da resultante exercida no guindaste em não deve exceder em valores absolutos. Determine a maior tensão admissível na linha quando .
Passo 1
Primeiramente, vamos tratar de fazer a análise de forças do nosso sistema, que está representado na figura abaixo:
Bom! Dessa ilustraçãozinha acima tiramos que a reação em , chamada de , é dada pela seguinte soma vetorial:
Em seguida, a segunda coisa que temos que fazer é determinar a distância em termos dos vetores unitários e ; afinal é nesse segmento que está a linha de ação de . Para isso, basta observar a figura. Veremos que o ponto está nas coordenadas e o ponto encontra-se nas coordenadas . Com isso, para achar basta fazer a diferença entre as coordenadas de e as coordenadas de :
E o módulo é dado por:
Passo 2
Achada o nosso vetor vamos obter o quanto vale a força de tração também em termos dos vetores unitários e . Para fazer isso basta multiplicar a força pela distância vetorial e dividir tudo pelo módulo de :
Passo 3
A questão já nos fornece o momento em relação ao eixo da força resultante . Ora bolas; tudo que temos que fazer agora é relacionar esse momento já dado com a expressão geral do momento que queremos encontrar, especificamente para o eixo .
Para fazer isso, dado que temos , só falta agora o vetor posição que parte da origem até o ponto, onde se localiza . Essa belezinha é o vetor !! Sabendo que tem as coordenadas :
Como temos tudo que precisamos; só nos resta aplicar a definição de momento:
Onde temos que:
Vamos então, fazer o produto vetorial usando o determinante matricial:
Esse é o nosso momento resultante!!! Para obter os momentos em cada eixo; basta associar cada componente do momento com seu versor ao respectivo eixo coordenado; para o eixo ; para o eixo e para o eixo :
E como sabemos que o momento sobre o eixo da resultante exercida no guindaste em não deve exceder em valores absolutos, basta igualar a :