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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 80

80. O círculo de Mohr para o estado de tensão na Figura 9.15a é mostrado na Figura 9.15b. Mostre que determinar as coordenadas do ponto P ( σ x ' , τ x ' y ' ) no círculo dá o mesmo valor que as equações de transformação de tensão (equações 9.1 e 9.2).

Passo 1

Escrevendo a expressão do raio do círculo através da tensão máxima de cisalhamento τ m á x , temos que

R = σ x - σ x + σ y 2 2 + τ x y 2 = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

E depois reescrevendo a fórmula da tensão σ x ' em função de nosso ângulo θ ' , temos que:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ cos ⁡ θ '

Só que θ ' , na verdade pode ser escrito como:

θ ' = 2 θ p - 2 θ

De modo que que cos ⁡ θ ' , é igua a:

cos ⁡ θ ' = cos ⁡ ( 2 θ p - 2 θ )

cos ⁡ θ ' = cos ⁡ 2 θ p ⋅ cos ⁡ 2 θ + sen ⁡ 2 θ p ⋅ sen ⁡ 2 θ

Passo 2

E aí que vem a grande sacada da questão. Ao olhar o círculo de Mohr, vemos que:

cos ⁡ 2 θ p = σ x - σ x + σ y 2 σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

sen ⁡ 2 θ p = τ x y σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

E vamos lembrar que:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ cos ⁡ θ '

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ ( cos ⁡ 2 θ p cos ⁡ 2 θ + sen ⁡ 2 θ p sen ⁡ 2 θ )

Substituindo cos ⁡ 2 θ p e sen ⁡ 2 θ p , chegamos à:

σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ cos ⁡ 2 θ p = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ σ x - σ x + σ y 2 σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ cos ⁡ 2 θ p = σ x - σ y 2

E depois à:

σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ sen ⁡ 2 θ p = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ τ x y σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ sen ⁡ 2 θ p = τ x y

E finalmente o nosso primeiro resultado:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ ( cos ⁡ 2 θ p cos ⁡ 2 θ + sen ⁡ 2 θ p sen ⁡ 2 θ )

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

Passo 3

Voltemos a tensão de cisalhamento de acordo com o nosso círculo de Mohr, que tem a seguinte fórmula:

τ x ' y ' = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ sen ⁡ θ '

Só que sen ⁡ θ ' , na verdade é iguala :

sen ⁡ θ ' = sen ⁡ ( 2 θ p - 2 θ )

sen ⁡ θ ' = sen ⁡ 2 θ p ⋅ cos ⁡ 2 θ - sen ⁡ 2 θ ⋅ cos ⁡ 2 θ p

Ou seja:

τ x ' y ' = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ ( sen ⁡ 2 θ p ⋅ cos ⁡ 2 θ - sen ⁡ 2 θ ⋅ cos ⁡ 2 θ p )

Substituindo cos ⁡ 2 θ p e sen ⁡ 2 θ p , chegamos à:

σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ sen ⁡ 2 θ p = τ x y

E depois:

σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ cos ⁡ 2 θ p = σ x - σ y 2

De modo que alcançamos o segundo resultado:

τ x ' y ' = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 ⋅ ( sen ⁡ 2 θ p ⋅ cos ⁡ 2 θ - sen ⁡ 2 θ ⋅ cos ⁡ 2 θ p )

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Resposta

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

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