80. O círculo de Mohr para o estado de tensão na Figura 9.15a é mostrado na Figura 9.15b. Mostre que determinar as coordenadas do ponto P ( σ x ' , τ x ' y ' ) no círculo dá o mesmo valor que as equações de transformação de tensão (equações 9.1 e 9.2).

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Enunciado

Escrevendo a expressão do raio do círculo através da tensão máxima de cisalhamento , temos que

E depois reescrevendo a fórmula da tensão em função de nosso ângulo , temos que:

Só que , na verdade pode ser escrito como:

De modo que que , é igua a:

E aí que vem a grande sacada da questão. Ao olhar o círculo de Mohr, vemos que:

E vamos lembrar que:

Substituindo e , chegamos à:

E depois à:

E finalmente o nosso primeiro resultado:

Voltemos a tensão de cisalhamento de acordo com o nosso círculo de Mohr, que tem a seguinte fórmula:

Só que , na verdade é iguala :

Ou seja:

Substituindo e , chegamos à:

E depois:

De modo que alcançamos o segundo resultado: