O anel C de 1 kg ajusta-se livremente no eixo liso. Se a mola está livre quando s = 0 e ao anel é dada uma velocidade de 4,5   m / s , determine a velocidade do anel quando s = 0,3   m .

Passo 1

Temos um problema que envolve molas! Portanto, vamos relembrar antes como calculamos a força de uma mola. Dada uma mola de constante elástica k e deformada por um comprimento x , a sua força é:

F = k x

Para podermos calcular a força da mola, precisamos descobrir antes quem é este comprimento x . Ao olharem a figura da questão vocês podem ver um triângulo retângulo (catetos 0,3 e s). Portanto, o valor x será a diferença do valor desta hipotenusa com o comprimento inicial da mola!!! Legal, né!!

Feito isto, podemos partir para a parte do diagrama livre e por fim, finalizaremos na análise de cinemática para podermos resolver a questão.

Passo 2

Antes de fazermos o esboço do diagrama de corpo livre, vamos calcular esta deformação x da mola, seguindo o procedimento do passo 1. Portanto, temos:

x = H i p o t e n u s a - 0,3

x = s 2 + 0,3 2 - 0,3

Agora sim, podemos partir para o diagrama de corpo livre. Desta forma, temos:

Sendo assim, ao fazermos o somatório ao longo do eixo x , obteremos:

→ ∑ F x = m ⋅ a

- 60 ⋅ s 2 + 0,3 2 - 0,3 cos ⁡ θ = a

- 60 ⋅ s 2 + 0,3 2 - 0,3 ⋅ s s 2 + 0,3 2   = a

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação do Passo 2. Nela, temos a aceleração como função da posição s . Para resolvermos, basta lembrarmos que a = v d v d s . Resolvendo esta EDO, obteremos o valor da aceleração e chegaremos ao fim da nossa questão!! Vamos as nossas contas então:

- 60 ⋅ s 2 + 0,3 2 - 0,3 ⋅ s s 2 + 0,3 2   v d v d s

∫ 0 0,3 - 60 s + 18 s s 2 + 0,3 2 d s = ∫ 4,5 v v   d v

v 2 - 4,5 2 2 = - 30 s 2 + 18 s 2 + 0,3 2 0 0,3

v 2 - 4,5 2 2 = - 2,7 + 7,64 - 5,4

v = 4,4   m / s

Resposta

v = 4,4   m / s

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