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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 112

O apoio axial está sujeito a uma distribuição de pressão em sua superfície de contato que varia conforme mostra a figura. Se o coeficiente de atrito estático é μ , determine o torque M necessário para superar o atrito se o eixo suportar uma força axial P .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Temos que calcular o torque M necessário para superar o atrito.

Como nesse caso o eixo está suportando a uma distribuição de pressão, temos que determinar a fórmula para o cálculo do momento, assim como foi feito na seção 8.6.

Então, vamos aos cálculos! O eixo está sujeito a uma força:

d F = μ s d N = μ s p d A = μ s p 0 cos ⁡ π r 2 R d A

O momento será dado por:

M = ∫ A r d F = ∫ A r μ s p 0 cos ⁡ π r 2 R d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 R r μ s p 0 cos ⁡ π r 2 R r d r d θ

M = μ s p 0 ∫ 0 2 π ∫ 0 R r 2 cos ⁡ π r 2 R d r d θ

M = μ s p 0 ∫ 0 2 π 2 R π 2 r 2 - 8 R 2 sen ⁡ π r 2 R + 4 π r R cos ⁡ π r 2 R π 3 0 R d θ

M = μ s p 0 ∫ 0 2 π 2 R 3 π - 16 R 3 π 3 d θ

M = 16 μ s p 0 R 3 π 2 π 2 4 - 2

E assim chegamos à relação para o torque M .

Passo 2

Mas calma! Ainda não terminamos a questão! Para a finalizarmos a questão temos que expressar a pressão p 0 em termos de P . Para isto, basta integrarmos a força d N que explicitamos no Passo anterior.

Portanto,

P = ∫ A d N = ∫ A p d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 R p 0 cos ⁡ π r 2 R r d r d θ

P = p 0 ∫ 0 2 π ∫ 0 R r cos ⁡ π r 2 R d r d θ

P = 2 π p 0 2 R π r sen ⁡ π r 2 R + 2 R cos ⁡ π r 2 R π 2 0 R ⟹ P = p 0 4 R 2 π - 2 π

p 0 = P π 4 R 2 π - 2

E para finalizarmos, basta substituir p 0 na relação do torque M .

M = 16 μ s R 3 π 2 P π 4 R 2 π - 2 π 2 4 - 2

M = 4 μ s P R π π - 2 π 2 4 - 2

E assim finalizarmos a questão!

Resposta

M = 4 μ s P R π π - 2 π 2 4 - 2

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